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abelian-variety

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Tag 定义

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abelian-variety

Definition 1.

一个 connected proper group variety 称为 abelian variety.

tikzpicture diagram

1 Abelian variety over ℂ

Proposition 2.

设 𝐴 是一个 abelian variety over ℂ, 那么以下成立：

  1. 1.

    𝐴 是 noetherian

  2. 2.

    𝐴 是 integral 的。

  3. 3.

    𝐴 是 locally factorial 的。

Proof.

(1) 𝐴 是 of finite type over ℂ，所以 𝐴 是 Noetherian 的。

(2) 因为连通群簇就是 irreducible 的，所以 𝐴 是 irreducible + reduced, 故而 𝐴 是 integral 的。 (3) 因为 𝐴 是光滑的，所以 regualr, 所以 locally factorial[1]. ∎

Lemma 3 (GTM 52, Chap II, Prop 6.11).

设 𝑋 是一个 noetherian, integral, separated locally of factorial scheme, 那么 𝑋 上的 Weil 除子构成的群和 𝑋 上的 Cartier 除子构成的群是同构的。进一步，主 Weil 除子和主 Cartier 除子在这个同构下也一一对应。

我们设 Cl 𝑋 是 𝑋 的 Weil 除子类群， CaCl 𝑋 是 𝑋 的 Cartier 除子类群。

Lemma 4 (GTM 52, Chap II, Prop 6.15).

如果 𝑋 是 integral 概形，群同态

CaCl 𝑋→Pic(𝑋)

是一个同构。

Lemma 5 (GTM 52, Chap II, Cor 6.16).

设 𝑋 是一个 noetherian, integral, separated locally of factorial scheme, 那么存在一个自然同构 Cl 𝑋≅Pic 𝑋.

Proposition 6.

设 𝐴 是一个 abelian variety over ℂ, 满足 Lemma 3, 4, 5 的条件，所以有

Cl 𝐴≅CaCl 𝐴≅Pic 𝐴.

References

  • [1] The Stacks project authors (2026)The stacks project(Website) External Links: Link Cited by: §1.