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Abelian variety 的 Néron-Severi 群

发布于 2026-07-24T10:07:40Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:58:12Z

主要陈列 Abel 簇的 NS 群的结论和证明。

1 Néron-Severi 群

我们将 $𝜑 L : 𝐴 \to ̂ 𝐴$ 定义为

𝑎 \mapsto 𝑡 * 𝑎 L \otimes L - 1 .

Definition 1.

设 $𝑉$ 是一个 nonsingular proper variety $𝑉$ , $P i c (𝑉) / P i c 0 (𝑉)$ 称为 $𝑉$ 的 Néron-Severi 群。

2 Tate 模

Definition 2.

设 $𝑙$ 是一个素数且 $𝑙 \neq c h a r 𝑘$ , 那么我们定义 Tate 模为

𝑇 𝑙 𝐴 : = l i m ⟵ 𝐴 𝑙 𝑛 (𝑘 𝑠 𝑒 𝑝) .

Proposition 3.

设 $𝑙 \neq c h a r 𝑘$ , $𝑇 𝑙 𝐴$ 是一个秩为 $2 𝑔$ 的自由 $ℤ 𝑙$ 模。

Remark 4.

设 $𝑘 = ℂ$ . 那么同构 $𝐴 (ℂ) ≅ ℂ 𝑔 / Λ$ 诱导了同构 $𝐴 𝑛 (ℂ) ≅ 𝑛 - 1 Λ / Λ$ . 因为 $𝑛 - 1 Λ / Λ ≅ Λ \otimes (ℤ / 𝑛 ℤ)$ ,

𝑇 𝑙 (𝐴) ≅ l i m ⟵ 𝑙 - 𝑛 Λ / Λ ≅ l i m ⟵ Λ \otimes (ℤ / 𝑙 𝑛 ℤ) ≅ Λ \otimes (l i m ⟵ ℤ / 𝑙 𝑛 ℤ) ≅ Λ \otimes ℤ 𝑙

所以我们有

𝑇 𝑙 (𝐴) ≅ 𝐻 1 (𝐴, ℤ) \otimes ℤ 𝑙 .

Lemma 5.

设 $𝐴$ 是一个简单 abel 簇， $𝐵$ 是一个 abel 簇， $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ 是 abel 簇间的同态。那么

k e r 𝑓 = 𝐴 o r k e r 𝑓 i s f i n i t e .

Proof.

Let $𝐾 = k e r (𝑓)$ . The reduced identity component $𝐾 0 r e d$ is an abelian subvariety of $𝐴$ . Since $𝐴$ is simple, we have

𝐾 0 r e d = 0 o r 𝐾 0 r e d = 𝐴 .

In the second case, $𝐾 = 𝐴$ , and hence $𝑓 = 0$ . In the first case, $𝐾$ is zero-dimensional. Since $𝐾$ is a closed subgroup scheme of the proper variety $𝐴$ , it is proper over $𝑘$ . Therefore $𝐾 \to S p e c 𝑘$ is proper and quasi-finite, hence finite. Thus

k e r (𝑓) = 𝐴 o r k e r (𝑓) i s f i n i t e .

∎

Lemma 6.

设 $𝑙 \neq c h a r 𝑘$ , 自然映射

H o m (𝐴, 𝐵) \to H o m ℤ 𝑙 (𝑇 𝑙 𝐴, 𝑇 𝑙 𝐵)

是单射。特别的， $H o m (𝐴, 𝐵)$ 是 torsion-free 的。

Proof.

设 $𝛼 : 𝐴 \to 𝐵$ 是 abelian variety 之间的同态并且 $𝑇 𝑙 𝛼 = 0$ . 那么对于任意满足存在某个 $𝑛$ 使得 $𝑙 𝑛 𝑃 = 0$ ， $𝑃 \in 𝐴 (𝑘 𝑠 𝑒 𝑝)$ ，有 $𝛼 𝑃 = 0$ 。

考虑简单 abel 簇 $𝐴' \subseteq 𝐴$ . $𝛼 | 𝐴' (𝐴' 𝑙 𝑛) = 0$ , 所以 $𝐴' 𝑙 𝑛 \subseteq k e r (𝛼 | 𝐴')$ , 那么 $k e r (𝛼 | 𝐴') = 𝐴'$ . 由此可知对于任意简单 abel 簇 $𝐴'$ 有 $𝛼 | 𝐴' = 𝐴'$ . 我们知道一定存在一个 isogeny $𝑓$

𝑓 : 𝐴 1 \times \dots \times 𝐴 𝑟 \to 𝐴,

其中 $𝐴 𝑖$ 都是简单 abel 簇。根据 $𝛼 \circ 𝑓 = 0$ 且 $𝑓$ 是满射，那么 $𝛼 = 0$ . ∎

Theorem 7.

对于任意 abelian varieties $𝐴$ 和 $𝐵$ ，并且 $𝑙 \neq c h a r 𝑘$ , 自然映射

H o m (𝐴, 𝐵) \otimes ℤ 𝑙 \to H o m (𝑇 𝑙 𝐴, 𝑇 𝑙 𝐵)

是单射，并且余核是 torsion-free 的。因此 $H o m (𝐴, 𝐵)$ 是有限秩为 $\leq 4 d i m 𝐴 d i m 𝐵$ 的自由 $ℤ$ 模。

Proposition 8.

设 $𝐴$ 是一个 abelian variety, 那么 $N S (𝐴)$ 是一个秩 $\leq 4 \cdot d i m (𝐴) 2$ 自由 $ℤ$ 模。

Proof.

注意到

N S (𝐴) \to H o m (𝐴, ̂ 𝐴) L \mapsto 𝜑 L

是一个单射，而 $H o m (𝐴, ̂ 𝐴)$ 是一个秩 $\leq 4 (d i m 𝐴) 2$ 的自由 $ℤ$ 模。所以 $N S (𝐴)$ 也是一个秩 $\leq 4 (d i m 𝐴) 2$ 的自由 $ℤ$ 模。 ∎

3 对称

接下来的结论引用自 [1, 7.4.2.- 7.4.5].

Definition 9.

$𝑓 : 𝐴 \to ̂ 𝐴$ 称为 symmetric，如果 $𝑓 = ̂ 𝑓 \circ 𝜄 𝐴$ :

̂ 𝐴 ̂ 𝑓 \leftarrow ̂ ̂ 𝐴 𝜄 𝐴 ⟵ 𝐴 .

Proposition 10.

对于任意 $𝐴$ 上线丛 $L$ ， $𝜑 L : 𝐴 \to ̂ 𝐴, 𝑎 \mapsto 𝑡 * 𝑎 L \otimes L - 1$ 是对称的。

Remark 11.

设 $𝑘$ 是一个代数闭域， $𝐴$ 是一个 abelian variety over $𝑘$ , 那么所有的 symmetric 同态 $𝐴 \to ̂ 𝐴$ 都来自于某个 $𝜑 L$ .

4 Rosati Involution

设 $𝐴$ 是一个 abelian variety, $𝜆 : 𝐴 \to ̂ 𝐴$ 是一个 isogeny. 我们定义 $𝜆$ 对应的 Rosati involution 为

† : E n d 0 (𝐴) \to E n d 0 (𝐴) 𝛼 \mapsto 𝜆 - 1 \circ ̂ 𝛼 \circ 𝜆 .

Proposition 12.

1.

$(𝛼 + 𝛽) † = 𝛼 † + 𝛽 †$
2.

$(𝛼 𝛽) † = 𝛽 † 𝛼 †$
3.

$\forall 𝑎 \in ℚ$ , $𝑎 † = 𝑎$
4.

$𝛼 † † = 𝛼$ .

Proof.

对于任意 $𝑎, 𝑎' \in 𝑇 𝑙 𝐴 \otimes ℚ, 𝑙 \neq c h a r 𝑘$ ,

𝑒 𝜆 𝑙 (𝛼 𝑎, 𝑎') = 𝑒 𝑙 (𝛼 𝑎, 𝜆 𝑎') = 𝑒 𝑙 (𝑎, 𝛼 \lor 𝜆 𝑎') = 𝑒 𝜆 𝑙 (𝑎, 𝛼 † 𝑎')

那么我们就有 $𝑒 𝜆 𝑙 (𝛼 † 𝑎, 𝑎') = 𝑒 𝜆 𝑙 (𝑎, 𝛼 † † 𝑎')$ , 所以我们就只需要证明 $𝑒 𝜆 𝑙 (𝛼 † 𝑎, 𝑎') = 𝑒 𝜆 𝑙 (𝑎, 𝛼 𝑎')$ . ∎

Lemma 13.

设 $c h a r (𝑘) \neq 2, 𝑙$ 。那么同态 $𝜆 : 𝐴 \to ̂ 𝐴$ 满足存在一个 $𝐴$ 上线丛 $L$ , $𝜆 = 𝜑 L$ $⟺$ $𝑒 𝜆 𝑙$ 是斜对称的。

记 $N S 0 (𝐴) = N S (𝐴) \otimes 𝐴$ , $E n d 0 (𝐴) = E n d (𝐴) \otimes ℚ$ .

Proposition 14.

设 $𝑘$ 是一个代数闭域。那么映射

N S (𝐴) \otimes ℚ \to E n d (𝐴) \otimes ℚ L \mapsto 𝜆 - 1 \circ 𝜑 L

使得 $N S 0 (𝐴) = E n d 0 (𝐴) †$ , 即

N S 0 (𝐴) = {𝛼 \in E n d 0 (𝐴) : 𝛼 † = 𝛼} .

Proof.

如果 $𝜆 - 1 \circ 𝜑 L = 𝛼$ , 那么 $𝜑 L = 𝜆 𝛼$ . 根据 Lemma 13，我们有对于任意 $𝑎, 𝑎' \in 𝑇 𝑙 𝐴 \otimes ℚ$ ,

𝑒 𝜆 \circ 𝛼 𝑙 (𝑎, 𝑎') = - 𝑒 𝜆 \circ 𝛼 𝑙 (𝑎', 𝑎) .

又因为

𝑒 𝜆 \circ 𝛼 𝑙 (𝑎, 𝑎') = 𝑒 𝜆 \circ 𝛼 𝑙 (𝑎, 𝛼 𝑎') = - 𝑒 𝜆 𝑙 (𝛼 𝑎', 𝑎) = - 𝑒 𝑙 (𝛼 𝑎', 𝜆 𝑎) = - 𝑒 𝑙 (𝑎', 𝛼 \lor \circ 𝜆 𝑎)

所以 $𝜆 \circ 𝛼 = 𝛼 \lor \circ 𝜆$ , 此即 $𝛼 = 𝜆 - 1 \circ 𝛼 \lor \circ 𝜆 = 𝛼 †$ . ∎

Proposition 15.

设 $(𝐴, 𝜆)$ 是一个主极化 abelian variety over a field $𝑘$ with all endomorphisms defined over $𝑘$ . 设 $†$ 是 $𝜆$ 诱导的 Rosati involution. 那么映射

N S ―― 𝑘 (𝐴) \to E n d ―― 𝑘 (𝐴) † L \mapsto 𝜆 - 1 \circ 𝜑 L

是一个群同构。

Proof.

参考 [2, Proposition 3.1] ∎

References

[1] B. Conrad and T. Feng (2015) Abelian varieties. Lecture Notes, Stanford University. Note: Course taught by Brian Conrad; lecture notes by Tony Feng External Links: Link Cited by: §3.
[2] C. Ritzenthaler (2010) Explicit computations of Serre’s obstruction for genus 3 curves and application to optimal curves. LMS Journal of Computation and Mathematics 13, pp. 192–207. External Links: Document Cited by: §4.