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divisor

发布于 2026-07-29T06:41:10Z · 公开内容更新于 2026-10-23T10:01:53Z

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divisor

1 Weil divisor

设 $𝑋$ 是一个 $𝑛$ 维的簇。 $𝑋$ 上的 Weil 除子就是 $𝑋$ 的一个 $(𝑛 - 1)$ -cycle.

2 Cartier divisor

设 $𝑋$ 是一个 $𝑛$ 维的簇。 $𝑋$ 上的 Cartier 除子定义为 ${(𝑈 𝛼, 𝑓 𝛼)}$ , 其中 $𝑈 𝛼$ 构成了 $𝑋$ 的开覆盖， $𝑓 𝛼 \in 𝑅 (𝑈 𝛼)$ 是一个非零函数， $𝑓 𝛼 / 𝑓 𝛽$ 是一个 Unit(regular, nowhere vanishing function) on $𝑈 𝛼 \cap 𝑈 𝛽$ . 这里的这些 $𝑓 𝛼$ 称为 $𝐷$ 的 local equations.

如果 $𝐷$ 是 $𝑋$ 上的 Cartier 除子， $𝑉$ 是 $𝑋$ 的余维数为 $1$ 的子簇，我们记

o r d 𝑉 𝐷 = o r d 𝑉 (𝑓 𝛼)

我们定义 $𝐷$ 的 associated Weil 除子 $[𝐷]$ 为

[𝐷] = \sum 𝑉 o r d 𝑉 𝐷 [𝑉]

the sum over all codimension on subvarieties $𝑉$ of $𝑋$ .

注意到 Cartier 除子构成了 abel 群 $D i v (𝑋)$ . 在 $D i v (𝑋)$ 中，设 $𝐷 = {(𝑈 𝛼, 𝑓 𝛼)}$ , $𝐸 = {(𝑈 𝛼, 𝑔 𝛼)}$ , 那么 $𝐷 + 𝐸 = {(𝑈 𝛼, 𝑓 𝛼 𝑔 𝛼)}$ .根据 $o r d 𝑉$ 的 additivity, 我们有以下群同态

D i v (𝑋) \to 𝑍 𝑛 - 1 (𝑋) .

设 $𝑓 \in 𝑅 (𝑋) *$ . $d i v (𝑓)$ 称为主 Cartier 除子。 $[d i v (𝑓)]$ 是 $d i v (𝑓)$ 对应的 cycle.

两个 Cartier 除子称为 linearly equivalent, 如果

𝐷' = 𝐷 + d i v (𝑓) .

那么根据 rational equivalence 的定义，可以知道 $[𝐷]$ 和 $[𝐷']$ 是 rational equivalent cycles.

我们用 $P i c (𝑋)$ 来记 Cartier 除子 linear equivalence 类构成的群。那么我们有以下群同态：

P i c (𝑋) \to 𝐴 𝑛 - 1 (𝑋) .

这个群同态一般情况下不是单射，也不是满射。

Definition 1.

设 $𝐷 = {(𝑈 𝛼, 𝑓 𝛼)}$ . $𝐷$ 是 effective Cartier 除子 $⟺$ $𝑓 𝛼 \in O 𝑋 (𝑈 𝛼)$ 且 $𝑓 𝛼$ 是非零因子（其实就是 $𝑓 𝛼 \in O 𝑋 (𝑈 𝛼) *$ ）。

Example 2.

如果 $𝑋$ 是 normal, 那么

D i v (𝑋) \to 𝑍 𝑛 - 1 (𝑋) P i c (𝑋) \to 𝐴 𝑛 - 1 (𝑋)

是单射。

根据 GTM 52, 我们知道

Proposition 3.

如果 $𝑋$ 是 integral, 那么存在自然同构 $C l (𝑋) ≅ P i c (𝑋)$ .

Proposition 4.

如果 $𝑋$ 是 noetherian, integral, separated, locally of factorial, 那么存在自然同构 $C a C l (𝑋) ≅ P i c (𝑋)$ .

如果利用 Cartier 除子构造一个 associated Weil 除子？

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1 Weil divisor

2 Cartier divisor

Definition 1.

Example 2.

Proposition 3.

Proposition 4.

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