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除子(red book)

发布于 2026-10-09T06:46:40Z · 公开内容更新于 2026-10-23T09:42:54Z

复习一下除子的基本知识

1 基本定义

本节参照 Görtz–Wedhorn 的 Algebraic Geometry I: Schemes 第二版第 301–316 页的 Divisors 一节[1, pp. 301–316]，沿用原书第 (11.9)–(11.16) 节的顺序。定义与论证使用中文叙述，保留英文术语；各小节开头标明原书位置，以便对照阅读。

一个 rational function 可以在某些地方有 zero，在另一些地方有 pole。我们希望记录这些位置及其重数，并回答：给定一组局部的 zero/pole 数据，它们是否来自同一个全局 rational function？ divisor 就是用来描述这类数据的对象。

有两种描述方法。Weil divisor 直接记录 codimension one 的不可约闭子集及整数重数； Cartier divisor 则记录局部 meromorphic functions，并把相差一个 unit 的局部方程视为相同。后一种描述的出发点是：乘上一个处处可逆的函数不会改变 zero/pole 数据。依照原书，我们先讲 Cartier divisor，再建立它与 Weil divisor 的联系。

1.1 Divisors on integral schemes

对应原书 (11.9)，第 301–302 页。先设 $𝑋$ 是 integral scheme， $𝜂$ 是其 generic point。它的 function field 为 $𝐾 (𝑋) = O 𝑋, 𝜂$ 。任意非空 open subset 都有同一个 function field。记 $K 𝑋$ 为取值 $𝐾 (𝑋)$ 的 constant sheaf；于是

K 𝑋 (𝑈) = 𝐾 (𝑋) (𝑈 \neq \emptyset), K 𝑋, 𝑥 = 𝐾 (𝑋) .

结构层自然嵌入 $K 𝑋$ ，所以可以讨论一个 rational function 在某个点是否 regular，或是否为 local ring 中的 unit。

定义 1.1 (Cartier divisor on an integral scheme).

一个 Cartier divisor $𝐷$ 由数据 ${(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ 表示，其中 ${𝑈 𝑖} 𝑖$ 是 $𝑋$ 的 open covering， $𝑓 𝑖 \in 𝐾 (𝑋) \times$ ，并且

𝑓 𝑖 / 𝑓 𝑗 \in Γ (𝑈 𝑖 \cap 𝑈 𝑗, O 𝑋) \times .

两组数据 ${(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ 与 ${(𝑉 𝑗, 𝑔 𝑗)} 𝑗$ 表示同一个 divisor，当且仅当对所有 $𝑖, 𝑗$ 都有

𝑓 𝑖 / 𝑔 𝑗 \in Γ (𝑈 𝑖 \cap 𝑉 𝑗, O 𝑋) \times .

这里的 $𝑓 𝑖$ 称为 local equation。全体 Cartier divisors 记为 $D i v (𝑋)$ 。

备注 1.2 (局部方程如何拼接).

条件 $𝑓 𝑖 / 𝑓 𝑗 \in O \times 𝑋$ 表示两个 local equations 在交集上有相同的 zero/pole 数据。它不要求 $𝑓 𝑖 = 𝑓 𝑗$ ，也不要求每个 $𝑓 𝑖$ 都是 regular function。同时，局部方程必须非零，因为我们需要取它的倒数来表示 $- 𝐷$ 。

定义 1.3 (Principal divisor 与 linear equivalence).

若 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)}$ ， $𝐸 = {(𝑉 𝑗, 𝑔 𝑗)}$ ，定义

𝐷 + 𝐸 = {(𝑈 𝑖 \cap 𝑉 𝑗, 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗)} 𝑖, 𝑗, - 𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 - 1 𝑖)} 𝑖 .

零元由 $(𝑋, 1)$ 表示。这使 $D i v (𝑋)$ 成为 abelian group。由一个全局 $𝑓 \in 𝐾 (𝑋) \times$ 给出的 $(𝑋, 𝑓)$ 称为 principal divisor，记为 $d i v (𝑓)$ 。若 $𝐷 - 𝐸$ 是 principal divisor，则称 $𝐷, 𝐸$ 为 linearly equivalent，记为 $𝐷 \sim 𝐸$ 。定义 Cartier divisor class group

D i v C l (𝑋) = D i v (𝑋) / D i v p r i n c (𝑋) .

因此有 exact sequence

1 ⟶ Γ (𝑋, O 𝑋) \times ⟶ 𝐾 (𝑋) \times d i v ⟶ D i v (𝑋) ⟶ D i v C l (𝑋) ⟶ 0 .

其中 $d i v (𝑓) = 0$ 当且仅当 $𝑓$ 在每一点都是 unit，也就是 $𝑓 \in Γ (𝑋, O 𝑋) \times$ 。所以 $D i v C l (𝑋)$ 衡量的是局部 divisor 数据不能由全局函数给出的障碍。

定义 1.4 (Associated line bundle 与 support).

对于 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ ，定义 $K 𝑋$ 的 $O 𝑋$ -submodule $O 𝑋 (𝐷)$ ，其 sections 为

Γ (𝑉, O 𝑋 (𝐷)) = {𝑠 \in K 𝑋 (𝑉) : 𝑓 𝑖 𝑠 | 𝑈 𝑖 \cap 𝑉 \in Γ (𝑈 𝑖 \cap 𝑉, O 𝑋) 对所有 𝑖} .

特别地， $O 𝑋 (𝐷) | 𝑈 𝑖 = 𝑓 - 1 𝑖 O 𝑈 𝑖$ ，故它是 invertible sheaf，也称 line bundle。定义

S u p p (𝐷) = {𝑥 \in 𝑋 : (𝑓 𝑖) 𝑥 \notin O \times 𝑋, 𝑥 ，其中 𝑥 \in 𝑈 𝑖} .

由于两个 local equations 相差一个 unit，这个条件与 $𝑖$ 的选择无关。

命题 1.5 (原书 Proposition 11.21).

映射 $𝐷 \mapsto [O 𝑋 (𝐷)]$ 诱导 group isomorphism

D i v C l (𝑋) \sim ⟶ P i c (𝑋),

其中 $P i c (𝑋)$ 是 line bundles 的 isomorphism classes 在 tensor product 下组成的群。

证明将在一般情形的命题 1.30 和命题 1.31 中给出。注意 $O 𝑋 (𝐷)$ 作为 $K 𝑋$ 中的具体 submodule 记录 $𝐷$ ；忘掉这个嵌入、只保留 line bundle 的 isomorphism class 后，记录的是 $𝐷$ 的 linear equivalence class。

例 1.6 (局部 principal 不意味着全局 principal).

在 $𝑋 = 𝐏 1 𝑘$ 上取标准坐标 $𝑡$ ，并设 $𝑈 0 = S p e c 𝑘 [𝑡]$ ， $𝑈 \infty = S p e c 𝑘 [𝑡 - 1]$ 。数据

𝐷 = {(𝑈 0, 𝑡), (𝑈 \infty, 1)}

给出 Cartier divisor，因为 $𝑡$ 在交集 $S p e c 𝑘 [𝑡, 𝑡 - 1]$ 上是 unit。它只在 $𝑡 = 0$ 处有一个 zero，在 infinity 附近没有 zero 或 pole。它不是 principal：若存在这样的全局 rational function，它就没有 pole，因而是 $𝐏 1 𝑘$ 上的全局 regular function；这类函数都是常数，不可能恰有这个 zero。与之相比， $d i v (𝑡)$ 在 $𝑡 = 0$ 处有 zero，在 infinity 处有 pole。

1.2 Sheaves of meromorphic functions and rational functions

对应原书 (11.10)，第 302–304 页。一般的 scheme 可能 reducible，也可能有 nilpotents，因此不能直接用一个 function field。此时要把分母限制为 non-zero-divisors。

定义 1.7 (Regular element 与 total fraction ring).

对环 $𝐴$ ，若乘法映射 $𝐴 \cdot 𝑎 ⟶ 𝐴$ 是 injective，则称 $𝑎 \in 𝐴$ 为 regular element，即 non-zero-divisor。若 $𝑆$ 是这些元素组成的 multiplicative set，定义

F r a c (𝐴) = 𝑆 - 1 𝐴,

称为 total fraction ring。当 $𝐴$ 是 integral domain 时，它就是通常的 fraction field。对 $𝐴$ -module $𝑀$ ，若 $𝐴 \to 𝑀$ ， $𝑏 \mapsto 𝑏 𝑚$ 是 injective，也称 $𝑚 \in 𝑀$ 为 regular element。

备注 1.8.

这里的 regular 描述元素是否为 non-zero-divisor，与 regular local ring 中的 regular 是不同概念。在有 zero divisors 的环上，“非零” 不足以保证可以作为分母。例如 $𝐴 = 𝑘 [𝑥, 𝑦] / (𝑥 𝑦)$ 中的 $𝑥$ 非零，但它杀掉了 $𝑦$ ，所以不是 regular element。

定义 1.9 (Regular section；原书 Definition and Remark 11.22).

设 $F$ 是 quasi-coherent $O 𝑋$ -module。一个 $𝑠 \in Γ (𝑋, F)$ 称为 regular section，若

O 𝑋 ⟶ F, 𝑎 ⟼ 𝑎 𝑠

是 injective。这等价于每个 germ $𝑠 𝑥$ 都是 $F 𝑥$ 的 regular element，也等价于对每个 affine open $𝑈 = S p e c 𝐴$ ， $𝑠 | 𝑈$ 都是 $Γ (𝑈, F)$ 的 regular element。

证明.

sheaf morphism 的 injectivity 可以在 stalks 上检查；对 quasi-coherent modules，也可以在 affine opens 的 sections 上检查。将这两个判别应用于 $𝑎 \mapsto 𝑎 𝑠$ 即可。 ∎

定义 1.10 (Sheaf of meromorphic functions).

令 $𝑆 𝑈 \subseteq Γ (𝑈, O 𝑋)$ 为 regular sections 的集合。将 presheaf

𝑈 ⟼ 𝑆 - 1 𝑈 Γ (𝑈, O 𝑋)

sheafify，得到 sheaf of meromorphic functions $K 𝑋$ 。其 section 局部可写成 $𝑎 / 𝑏$ ，其中 $𝑎$ 属于结构层， $𝑏$ 是 regular section。有自然的 injection $O 𝑋 ↪ K 𝑋$ 。

备注 1.11 (两个需要区分的局部条件).

分子 $𝑎$ 只要求属于结构层，允许是 zero divisor； $𝑏$ 则必须是 non-zero-divisor。而 $K \times 𝑋$ 中的 section 局部可以写成两个 non-zero-divisors 的商。原始的 presheaf 在一般情形下未必已经是 sheaf，所以定义中的 sheafification 是必要的。

定义 1.12 (Schematically dense 与 rational function).

一个 open immersion $𝑗 : 𝑈 ↪ 𝑋$ 称为 schematically dense，若 $O 𝑋 \to 𝑗 * O 𝑈$ 是 injective。也就是说，一个 regular function 若在 $𝑈$ 上消失，就在原来的 open set 上消失。当 $𝑋$ reduced 时，dense open subsets 都是 schematically dense；一般情形还必须顾及 embedded associated points。

rational function 是定义在某个 schematically dense open subset 上的 regular function，两个代表在一个共同的 schematically dense open subset 上相等时视为等价。这些函数组成的 sheaf 记为 $R 𝑋$ 。

引理 1.13 (Domain of definition；原书 Lemma 11.23).

对 $𝑓 \in Γ (𝑋, K 𝑋)$ ，集合

d o m (𝑓) = {𝑥 \in 𝑋 : 𝑓 𝑥 \in O 𝑋, 𝑥}

是 schematically dense open subset。因此 $𝑓$ 在该集合上的限制定义一个 rational function，并得到自然的 injection $K 𝑋 ↪ R 𝑋$ 。

证明.

若 $𝑓 𝑥$ 属于 $O 𝑋, 𝑥$ ，则在一个足够小的邻域上 $𝑓$ 等于 regular function，所以 $d o m (𝑓)$ 是 open。局部取 affine open $𝑉$ ，写 $𝑓 = 𝑎 / 𝑏$ ，其中 $𝑏$ 是 non-zero-divisor。则 $𝐷 (𝑏) \subseteq d o m (𝑓) \cap 𝑉$ ，且 $𝐷 (𝑏)$ 在 $𝑉$ 中 schematically dense：一个元素在局部化后为零，意味着被某个 $𝑏 𝑛$ 杀掉，故原来就为零。这些局部事实证明所需的 schematic density，也说明 rational function 的代表不会丢失 meromorphic section 的信息。 ∎

命题 1.14 (原书 Proposition 11.24 与 Remark 11.25).

若 $𝑋$ integral 或 locally noetherian，则 $K 𝑋 \sim ⟶ R 𝑋$ 。若 $𝑋$ locally noetherian，则对 affine open $𝑈 = S p e c 𝐴$ 以及任意 $𝑥 \in 𝑋$ ，

Γ (𝑈, K 𝑋) = F r a c (𝐴), K 𝑋, 𝑥 = F r a c (O 𝑋, 𝑥) .

证明.

integral 情形中，两种 sheaves 都是取值 $𝐾 (𝑋)$ 的 constant sheaf。对 noetherian affine scheme $S p e c 𝐴$ ，一个 schematically dense open $𝑉$ 包含 $A s s (𝐴)$ 。其补集为 $𝑉 (𝐼)$ ，故 $𝐼$ 不包含于任何 associated prime。由于 associated primes 只有有限多个，prime avoidance 给出 $𝑏 \in 𝐼 ∖ ⋃ 𝔭 \in A s s (𝐴) 𝔭$ 。于是 $𝑏$ 是 non-zero-divisor，且 $𝐷 (𝑏) \subseteq 𝑉$ 。所以任意 rational function 都可在某个这样的 $𝐷 (𝑏)$ 上表示，从而属于 $𝐴 𝑏 \subseteq F r a c (𝐴)$ 。在 affine opens 上的等式及其局部化也给出 stalks 上的等式。 ∎

1.3 Cartier divisors

对应原书 (11.11)，第 304 页。现在 $𝑋$ 可以是任意 scheme。

定义 1.15 (Cartier divisor；原书 Definition 11.26).

定义

D i v (𝑋) = Γ (𝑋, K \times 𝑋 / O \times 𝑋),

其中商是 quotient sheaf，群运算记为加法。一个 $𝑓 \in Γ (𝑋, K 𝑋) \times$ 的像 $d i v (𝑓)$ 称为 principal divisor。若 $𝐷 - 𝐸$ principal，则 $𝐷 \sim 𝐸$ 。与前面一样，定义

D i v C l (𝑋) = D i v (𝑋) / D i v p r i n c (𝑋) .

例 1.16 (零 Cartier divisor 与结构层 $O 𝑋$ ).

任意 scheme $𝑋$ 上最简单的 Cartier data 是 $(𝑋, 1)$ 。它表示

0 = d i v (1) = {(𝑋, 1)} \in D i v (𝑋) .

这里的 $0$ 是 divisor group 的零元：若 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ ，则 $𝐷 + 0 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖 \cdot 1)} 𝑖 = 𝐷$ 。它的 local equation 是 $1$ ，不是零函数；零函数不属于 $K \times 𝑋$ ，不能作为 Cartier local equation。

按 associated line bundle 的定义（见小节 1.4），

O 𝑋 (0) = 1 - 1 O 𝑋 = O 𝑋 .

所以结构层 $O 𝑋$ ，作为 $K 𝑋$ 中的自然 submodule，对应的正是由 $(𝑋, 1)$ 表示的零 Cartier divisor。由于 $1$ 处处是 unit，它的 support 为空，zero scheme 也是 $𝑉 (1) = \emptyset$ 。

更一般地，由 Cartier data 的等价关系，

𝐷 = 0 ⟺ 𝑓 𝑖 / 1 = 𝑓 𝑖 \in Γ (𝑈 𝑖, O 𝑋) \times 对所有 𝑖 .

这又等价于每个 germ $(𝑓 𝑖) 𝑥$ 都是 $O 𝑋, 𝑥$ 中的 unit。因此，只要有一个点的 local equation 不是 unit，就已经说明 $𝐷 \neq 0$ 。

若只要求 associated line bundle 与 $O 𝑋$ isomorphic，则任何 principal divisor $d i v (ℎ)$ 都满足 $O 𝑋 (d i v (ℎ)) = ℎ - 1 O 𝑋 ≅ O 𝑋$ 。它本身等于零，则还需要 $ℎ \in Γ (𝑋, O 𝑋) \times$ 。

备注 1.17 (Quotient sheaf 的意义).

这里一般没有等式

D i v (𝑋) = Γ (𝑋, K 𝑋) \times / Γ (𝑋, O 𝑋) \times .

quotient sheaf 的 section 只要求有局部 lift，不要求有全局 lift；有全局 lift 的恰好是 principal divisors。具体地，任意 Cartier divisor 可以由 ${(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ 表示，其中

𝑓 𝑖 \in Γ (𝑈 𝑖, K 𝑋) \times, 𝑓 𝑖 / 𝑓 𝑗 \in Γ (𝑈 𝑖 \cap 𝑈 𝑗, O 𝑋) \times .

代表的等价关系与加法仍由定义 1.1 中的公式给出。

定义 1.18 (Effective Cartier divisor).

若 $𝐷$ 的 local equations 可以取为 $𝑓 𝑖 \in Γ (𝑈 𝑖, O 𝑋) \cap Γ (𝑈 𝑖, K 𝑋) \times$ ，即 regular sections，则称 $𝐷$ 为 effective，记为 $𝐷 \geq 0$ 。所有 effective Cartier divisors 组成 submonoid $D i v + (𝑋)$ 。记 $𝐷 \geq 𝐸$ 当且仅当 $𝐷 - 𝐸 \geq 0$ 。

这个条件与 local equations 的选择无关，因为乘上 unit 不改变是否属于结构层。 effectivity 是局部条件，而 principality 是全局条件，两者不能混同。对一般 $𝑋$ ，式 (LABEL:eq:integral-divisor-sequence) 相应变为

1 ⟶ Γ (𝑋, O 𝑋) \times ⟶ Γ (𝑋, K 𝑋) \times d i v ⟶ D i v (𝑋) ⟶ D i v C l (𝑋) ⟶ 0 .

下面直接用 local equations 检查几个例子。均设 $𝑘$ 为 field；例子中的 schemes 都是 integral，因此非零的 local regular functions 自动是 non-zero-divisors。

例 1.19 (Affine space 上的 hypersurfaces).

设 $𝑋 = 𝐀 𝑛 𝑘 = S p e c 𝑘 [𝑥 1, \dots, 𝑥 𝑛]$ ， $𝑛 \geq 1$ 。任意非零 polynomial $𝐹$ 都给出

𝐷 𝐹 = d i v (𝐹) = {(𝑋, 𝐹)} .

它是 effective Cartier divisor，zero scheme 为 $𝑉 (𝐹)$ ；同时它是 principal，因为一个全局函数 $𝐹$ 就给出了全部 Cartier data。这里 $𝐹$ 不必 irreducible，也不必 square-free。由 divisor 的加法定义，

𝐷 𝐹 𝐺 = 𝐷 𝐹 + 𝐷 𝐺, 𝐷 𝐹 𝑚 = 𝑚 𝐷 𝐹 (𝑚 \geq 1) .

例如在 $𝐀 2 𝑘$ 上， $𝐹 = 𝑥 21 (𝑥 2 - 1)$ 给出 $2 𝐷 𝑥 1 + 𝐷 𝑥 2 - 1$ ：第一条直线带有重数 $2$ ，第二条带有重数 $1$ 。而 rational function $ℎ = 𝑥 21 / (𝑥 2 - 1)$ 给出

d i v (ℎ) = 2 𝐷 𝑥 1 - 𝐷 𝑥 2 - 1 .

这个 divisor 仍是 principal，但不是 effective，因为在 $𝑥 2 = 1$ 的 generic point 附近， $ℎ$ 有 pole，不能作为结构层的 section。所以 principal divisor 可以同时记录 zero 和 pole。

例 1.20 (Projective space 上的 hyperplanes 与 hypersurfaces).

设 $𝑋 = 𝐏 𝑛 𝑘$ ， $𝑛 \geq 1$ ，取 homogeneous coordinates $𝑇 0, \dots, 𝑇 𝑛$ ，并令 $𝑈 𝑖 = 𝐷 + (𝑇 𝑖)$ 。若 $𝐹 \in 𝑘 [𝑇 0, \dots, 𝑇 𝑛]$ 是非零 homogeneous polynomial， $d e g 𝐹 = 𝑑 \geq 1$ ，在 $𝑈 𝑖$ 上定义

𝑓 𝑖 = 𝐹 / 𝑇 𝑑 𝑖 \in 𝑘 [𝑇 0 / 𝑇 𝑖, \dots, 𝑇 𝑛 / 𝑇 𝑖] .

$𝑓 𝑖$ 非零且 regular；在 $𝑈 𝑖 \cap 𝑈 𝑗$ 上有

𝑓 𝑖 / 𝑓 𝑗 = (𝑇 𝑗 / 𝑇 𝑖) 𝑑 \in Γ (𝑈 𝑖 \cap 𝑈 𝑗, O 𝑋) \times .

所以 $𝐷 𝐹 = {(𝑈 𝑖, 𝐹 / 𝑇 𝑑 𝑖)} 𝑖$ 是 effective Cartier divisor， zero scheme 是 projective hypersurface $𝑉 + (𝐹)$ 。例如 hyperplane $𝐻 0 = 𝑉 + (𝑇 0)$ 的 local equations 是 $𝑇 0 / 𝑇 𝑖$ ；在 $𝑈 0$ 上的 equation 为 $1$ ，恰好表示 $𝐻 0 \cap 𝑈 0 = \emptyset$ 。再如 $𝐏 2 𝑘$ 中的 conic $𝑉 + (𝑇 0 𝑇 2 - 𝑇 21)$ ，在 $𝑈 0$ 的 affine coordinates $𝑢 = 𝑇 1 / 𝑇 0$ ， $𝑣 = 𝑇 2 / 𝑇 0$ 下，local equation 是 $𝑣 - 𝑢 2$ 。

homogeneous polynomial $𝐹$ 本身不是 $𝐏 𝑛 𝑘$ 上的 rational function，因为它在坐标缩放后乘上 $𝜆 𝑑$ 。而 $𝐹 / 𝑇 𝑑 0$ 是 degree zero 的 homogeneous fraction，确实是 rational function，且

d i v (𝐹 / 𝑇 𝑑 0) = 𝐷 𝐹 - 𝑑 𝐻 0, 𝐷 𝐹 \sim 𝑑 𝐻 0 .

这可以直接核对：在 $𝑈 𝑖$ 上，右侧的 local equation 是 $(𝐹 / 𝑇 𝑑 𝑖) / (𝑇 0 / 𝑇 𝑖) 𝑑 = 𝐹 / 𝑇 𝑑 0$ ，与 $𝑖$ 无关。

$𝐷 𝐹$ 自身不是 principal。若 $𝐷 𝐹 = d i v (ℎ)$ ，由 effectivity， $ℎ$ 在每一点都 regular，故 $ℎ \in Γ (𝐏 𝑛 𝑘, O 𝑋) = 𝑘$ 。非零常数的 divisor 为零，与 $𝑉 + (𝐹) \neq \emptyset$ 矛盾。这里使用了 $S u p p (𝐷 𝐹) = 𝑉 + (𝐹)$ ： zero scheme 非空意味着至少有一点的 local equation 不是 unit，由例 1.16 的零元判别可知 $𝐷 𝐹 \neq 0$ 。所以一个 hypersurface 有全局 homogeneous equation，仍不意味着其 Cartier divisor 是 principal。

例 1.21 (Product of projective spaces 上的 bihomogeneous equations).

设 $𝑋 = 𝐏 𝑎 𝑘 \times 𝑘 𝐏 𝑏 𝑘$ ， $𝑎, 𝑏 \geq 1$ ，两组 homogeneous coordinates 分别为 $𝑋 0, \dots, 𝑋 𝑎$ 和 $𝑌 0, \dots, 𝑌 𝑏$ 。标准 affine covering 为

𝑈 𝑖 𝑗 = 𝐷 + (𝑋 𝑖) \times 𝑘 𝐷 + (𝑌 𝑗) .

若非零 polynomial $𝐹 (𝑋 0, \dots, 𝑋 𝑎; 𝑌 0, \dots, 𝑌 𝑏)$ 关于两组变量分别 homogeneous，degrees 分别为 $𝑟, 𝑠 \geq 0$ ，则称它为 bidegree $(𝑟, 𝑠)$ 的 bihomogeneous polynomial。在 $𝑈 𝑖 𝑗$ 上定义

𝑓 𝑖 𝑗 = 𝐹 / (𝑋 𝑟 𝑖 𝑌 𝑠 𝑗) .

它是 affine coordinates $𝑋 𝛼 / 𝑋 𝑖$ 、 $𝑌 𝛽 / 𝑌 𝑗$ 的非零 polynomial。在两个 charts 的交集上，

𝑓 𝑖 𝑗 𝑓 ℓ 𝑚 = (𝑋 ℓ 𝑋 𝑖) 𝑟 (𝑌 𝑚 𝑌 𝑗) 𝑠 \in Γ (𝑈 𝑖 𝑗 \cap 𝑈 ℓ 𝑚, O 𝑋) \times .

因此 $𝐷 𝐹 = {(𝑈 𝑖 𝑗, 𝑓 𝑖 𝑗)} 𝑖, 𝑗$ 是 effective Cartier divisor。其中两个基本例子是

𝐻 1 = 𝑉 + (𝑋 0) \times 𝑘 𝐏 𝑏 𝑘, 𝐻 2 = 𝐏 𝑎 𝑘 \times 𝑘 𝑉 + (𝑌 0),

其 local equations 分别为 $𝑋 0 / 𝑋 𝑖$ 和 $𝑌 0 / 𝑌 𝑗$ 。故 $𝑟 𝐻 1 + 𝑠 𝐻 2$ 的 local equation 是 $(𝑋 0 / 𝑋 𝑖) 𝑟 (𝑌 0 / 𝑌 𝑗) 𝑠$ 。像前一个例子一样，全局 rational function $ℎ = 𝐹 / (𝑋 𝑟 0 𝑌 𝑠 0)$ 满足

d i v (ℎ) = 𝐷 𝐹 - 𝑟 𝐻 1 - 𝑠 𝐻 2, 𝐷 𝐹 \sim 𝑟 𝐻 1 + 𝑠 𝐻 2 .

这里分子、分母必须具有相同的 bidegree，而不只是相同的 total degree，因为两组 projective coordinates 可以独立缩放。这也解释了为什么 product 的 divisor classes 要用两个整数记录；完整的 class group 计算见小节 1.6。当 $(𝑟, 𝑠) \neq (0, 0)$ 时， $𝐷 𝐹$ 非零且不是 principal，因为该 product 上的全局 regular functions 同样只有 $𝑘$ 中的常数。

例 1.22 (Diagonal in $𝐏 1 𝑘 \times 𝑘 𝐏 1 𝑘$ ).

沿用前一个例子的坐标与 charts，diagonal

Δ = {([𝑋 0 : 𝑋 1], [𝑌 0 : 𝑌 1]) : [𝑋 0 : 𝑋 1] = [𝑌 0 : 𝑌 1]}

的 scheme equation 是 $𝐹 = 𝑋 0 𝑌 1 - 𝑋 1 𝑌 0$ ，其 bidegree 为 $(1, 1)$ 。记 $𝑥 = 𝑋 1 / 𝑋 0$ ， $𝑢 = 𝑋 0 / 𝑋 1$ ， $𝑦 = 𝑌 1 / 𝑌 0$ ， $𝑣 = 𝑌 0 / 𝑌 1$ 。则四个 charts 上的 Cartier data 为

open chart	affine coordinates	local equation
$𝑈 00$	$(𝑥, 𝑦)$	$𝑦 - 𝑥$
$𝑈 01$	$(𝑥, 𝑣)$	$1 - 𝑥 𝑣$
$𝑈 10$	$(𝑢, 𝑦)$	$𝑢 𝑦 - 1$
$𝑈 11$	$(𝑢, 𝑣)$	$𝑢 - 𝑣$

例如 $𝑈 00 \cap 𝑈 01$ 上 $𝑦 = 𝑣 - 1$ ，所以

𝑦 - 𝑥 = 𝑦 (1 - 𝑥 𝑣) .

比值 $𝑦$ 在这个交集上是 unit；其他交集也由同样的坐标变换检查。所以 $Δ$ 是 effective Cartier divisor。它是一个 irreducible curve，而 $𝐻 1 + 𝐻 2$ 是两条 fibers 的和，两者作为 divisors 不相等，却满足

d i v (𝑋 0 𝑌 1 - 𝑋 1 𝑌 0 𝑋 0 𝑌 0) = Δ - 𝐻 1 - 𝐻 2, Δ \sim 𝐻 1 + 𝐻 2 .

这里 $𝐻 1 = {[0 : 1]} \times 𝑘 𝐏 1 𝑘$ ， $𝐻 2 = 𝐏 1 𝑘 \times 𝑘 {[0 : 1]}$ 。在 $𝑈 00 ≅ 𝐀 2 𝑘$ 上， $Δ$ 由一个函数 $𝑦 - 𝑥$ 定义，因而局部 principal；但 $Δ$ 在整个 product 上不是 principal。

1.4 Divisors and line bundles

对应原书 (11.12)，第 305–308 页。

Divisors and invertible fractional ideals

定义 1.23 (Invertible fractional ideal).

一个 invertible fractional ideal 是 $K 𝑋$ 中的 invertible $O 𝑋$ -submodule。对 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ ，定义

I 𝑋 (𝐷) | 𝑈 𝑖 = 𝑓 𝑖 O 𝑈 𝑖 .

交集上 $𝑓 𝑖 / 𝑓 𝑗$ 是 unit，故这些 submodules 相等，能够拼接。定义

O 𝑋 (𝐷) = I 𝑋 (𝐷) - 1 = H 𝑜 𝑚 O 𝑋 (I 𝑋 (𝐷), O 𝑋) \subseteq K 𝑋 .

于是 $O 𝑋 (𝐷) | 𝑈 𝑖 = 𝑓 - 1 𝑖 O 𝑈 𝑖$ 。

命题 1.24 (Divisor 与 fractional ideal 的对应).

映射 $𝐷 \mapsto I 𝑋 (𝐷)$ 是 $D i v (𝑋)$ 与 invertible fractional ideals 在乘法下组成的群之间的 isomorphism。并且

𝐷 \leq 𝐸 ⟺ I 𝑋 (𝐷) \supseteq I 𝑋 (𝐸) ⟺ O 𝑋 (𝐷) \subseteq O 𝑋 (𝐸), O 𝑋 (0) = O 𝑋, O 𝑋 (𝐷 + 𝐸) = O 𝑋 (𝐷) O 𝑋 (𝐸) ≅ O 𝑋 (𝐷) \otimes O 𝑋 O 𝑋 (𝐸) .

乘积均在 $K 𝑋$ 内取。

证明.

一个 invertible fractional ideal 局部有 generator $𝑓 𝑖$ ；再缩小邻域，可写 $𝑓 𝑖 = 𝑎 𝑖 / 𝑏 𝑖$ ，其中 $𝑏 𝑖$ 是 non-zero-divisor。 generator 给出的 $O 𝑋 \to K 𝑋$ 是 injective，故 $𝑎 𝑖$ 也是 non-zero-divisor。因此 $𝑓 𝑖 \in K \times 𝑋$ 。交集上的 generators 相差 unit，因而反过来给出 Cartier divisor。在共同的 trivializing covering 上，所有公式分别化为 principal fractional ideals 的包含关系及 $𝑓 - 1 𝑖 𝑔 - 1 𝑖 = (𝑓 𝑖 𝑔 𝑖) - 1$ 。 ∎

备注 1.25 (为什么是 $𝑓 - 1 𝑖$ ).

若 $𝐷$ effective，其 local equation 是 $𝑓 𝑖$ ，那么 $I 𝑋 (𝐷)$ 记录沿 $𝐷$ 消失的函数，而 $O 𝑋 (𝐷)$ 允许分母 $𝑓 𝑖$ ，即允许由 $𝐷$ 限定的 pole。对 $𝑠 \in Γ (𝑋, K 𝑋) \times$ ，

𝑠 \in Γ (𝑋, O 𝑋 (𝐷)) ⟺ d i v (𝑠) + 𝐷 \geq 0 .

任意 meromorphic section 仍可用 $𝑓 𝑖 𝑠 \in O 𝑈 𝑖$ 判别是否属于 $O 𝑋 (𝐷)$ ；只有可逆的 section 才能在一般 scheme 上写 $d i v (𝑠)$ 。

命题 1.26 (Effective Cartier divisors as closed subschemes；原书 Remark 11.27).

effective Cartier divisors 与局部由一个 non-zero-divisor 定义的 closed subschemes 一一对应。若 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ effective，则其 ideal sheaf 为 $I 𝐷 = I 𝑋 (𝐷) = O 𝑋 (- 𝐷)$ ，且 $𝐷 \cap 𝑈 𝑖 = 𝑉 (𝑓 𝑖)$ 。有 exact sequence

0 ⟶ O 𝑋 (- 𝐷) ⟶ O 𝑋 ⟶ O 𝐷 ⟶ 0 .

证明.

取 affine open covering $𝑈 𝑖 = S p e c 𝐴 𝑖$ 。 effectivity 保证 $𝑓 𝑖 \in 𝐴 𝑖$ 是 non-zero-divisor，故可以定义

𝑍 𝑖 = S p e c (𝐴 𝑖 / (𝑓 𝑖)) ↪ 𝑈 𝑖 .

在 $𝑊 = 𝑈 𝑖 \cap 𝑈 𝑗$ 上，Cartier 条件给出 $𝑓 𝑖 = 𝑢 𝑖 𝑗 𝑓 𝑗$ ，其中 $𝑢 𝑖 𝑗 \in Γ (𝑊, O 𝑋) \times$ 。乘上 unit 不改变生成的 ideal，所以作为 $O 𝑊$ 的 ideal sheaves，

(𝑓 𝑖) O 𝑊 = (𝑓 𝑗) O 𝑊 .

这说明 $𝑍 𝑖 \cap 𝑈 𝑗$ 与 $𝑍 𝑗 \cap 𝑈 𝑖$ 是同一个 closed subscheme of $𝑊$ ，其 structure sheaves 都是 $O 𝑊 / (𝑓 𝑖)$ 。因此局部 ideal sheaves $𝑓 𝑖 O 𝑈 𝑖$ 拼接成 quasi-coherent ideal sheaf $I 𝐷 \subseteq O 𝑋$ 。它定义一个全局 closed subscheme $𝑍 ↪ 𝑋$ ，满足

𝑍 \cap 𝑈 𝑖 = 𝑍 𝑖, O 𝑍 = O 𝑋 / I 𝐷 .

这个 $𝑍$ 就是 $𝐷$ 的 zero scheme，也常直接记作 $𝐷$ 。反过来，若一个 closed subscheme 的 ideal sheaf 局部由 non-zero-divisor $𝑓 𝑖$ 生成，则两个 generators 在交集上相差 unit，给出所需的 Cartier data。 exact sequence 就是 ideal sheaf 的定义序列。 ∎

这样的 immersion 称为 regular immersion of codimension one。 “局部由一个方程定义” 还不够：这个方程必须是 non-zero-divisor。

备注 1.27 (非 effective Cartier divisor 的反例).

命题 1.26 的对应必须限定在 effective Cartier divisors 上。一般 Cartier divisor 虽然有 invertible fractional ideal $O 𝑋 (- 𝐷)$ ，但只有 $𝐷$ effective 时，它作为 $K 𝑋$ 的 submodule 才包含于 $O 𝑋$ ，从而成为定义 closed subscheme 的 ideal sheaf。

例如取 $𝑋 = 𝐀 1 𝑘 = S p e c 𝑘 [𝑡]$ ，并令

𝐸 = d i v (𝑡), 𝐷 = - 𝐸 = d i v (1 / 𝑡) .

$𝐸$ 是由 $𝑉 (𝑡)$ 给出的 effective Cartier divisor，而 $𝐷$ 在 origin 处有 pole，故不是 effective。其 fractional ideal 为

I 𝑋 (𝐷) = O 𝑋 (- 𝐷) = 𝑡 - 1 O 𝑋 .

在 origin $0$ 处，令 $𝑅 = 𝑘 [𝑡] (𝑡)$ ，则

I 𝑋 (𝐷) 0 = 𝑡 - 1 𝑅 ⊈ 𝑅 = O 𝑋, 0,

因为 $𝑡 - 1 \notin 𝑅$ 。因此 $𝐷$ 的 local equation 不能定义一个 closed subscheme，也不能用 $O 𝑋 / O 𝑋 (- 𝐷)$ 构造它的 zero scheme。

尽管 $S u p p (𝐷) = 𝑉 (𝑡)$ 是 closed subset，赋予它 reduced scheme structure 后得到的 closed subscheme $𝑉 (𝑡)$ 对应的是 $𝐸$ ，而不是 $𝐷$ ：它的 ideal sheaf 是 $𝑡 O 𝑋$ ， local equation 是 $𝑡$ ，记录 zero 而非 pole。所以不能把 non-effective Cartier divisor 本身与它的 support 当作同一个 closed subscheme。

也不能任意取一个 fraction 的分子来定义 zero scheme： $1 / 𝑡 = 𝑡 / 𝑡 2$ ，但两个分子的 zero schemes $𝑉 (1)$ 与 $𝑉 (𝑡)$ 不同。对这样的 divisor，仍有 support 和 associated line bundle； canonical section 的 zero scheme 在它 effective 的 open locus 上构造，见备注 1.34。

备注 1.28 (是局部 zero schemes 的并集吗？).

在 underlying sets 的层面，确实有

| 𝑍 | = ⋃ 𝑖 𝑉 𝑈 𝑖 (𝑓 𝑖) = S u p p (𝐷) .

但 zero scheme 还包含 structure sheaf。它由 $O 𝑈 𝑖 / (𝑓 𝑖)$ 在交集上的相容性拼接而成；这些 $𝑍 𝑖$ 成为 $𝑍$ 的 open subschemes，给出它的 open covering。不能只保留上面的点集并集，否则会丢掉 multiplicities：例如 $S p e c 𝑘 [𝑡] / (𝑡)$ 与 $S p e c 𝑘 [𝑡] / (𝑡 2)$ 的 underlying sets 相同，但后者还有非零 nilpotent $―― 𝑡$ 。 Cartier divisor 的 local equation 区分了这两个 zero schemes。

例 1.29 (没有全局函数，也能拼接 zero scheme).

在 $𝑋 = 𝐏 1 𝑘$ 上，取 $𝑈 0 = 𝐷 + (𝑇 0)$ ， $𝑈 1 = 𝐷 + (𝑇 1)$ ，并在 $𝑈 1$ 上记 $𝑡 = 𝑇 0 / 𝑇 1$ 。 hyperplane divisor $𝐻 = 𝑉 + (𝑇 0)$ 的 Cartier data 是

(𝑈 0, 1), (𝑈 1, 𝑡) .

因此局部 zero schemes 为 $𝑍 0 = 𝑉 𝑈 0 (1) = \emptyset$ ， $𝑍 1 = 𝑉 𝑈 1 (𝑡) = S p e c 𝑘$ 。交集 $𝑈 0 \cap 𝑈 1 = S p e c 𝑘 [𝑡, 𝑡 - 1]$ 上， $𝑡$ 是 unit，所以两个局部 zero schemes 的限制都是空 scheme，恰好相容。拼接得到全局 closed subscheme $𝑍 = {[0 : 1]} \subseteq 𝐏 1 𝑘$ 。它的 ideal sheaf 在 $𝑈 0$ 上是整个 $O 𝑈 0$ ，在 $𝑈 1$ 上是 $(𝑡)$ 。虽然没有一个全局 regular function 给出这个 zero scheme，局部 ideals 仍能定义它。

Invertible fractional ideals and line bundles

命题 1.30 (原书 Proposition 11.28).

对任意 scheme $𝑋$ 上的 Cartier divisors $𝐷, 𝐸$ ，有

O 𝑋 (𝐷) ≅ O 𝑋 (𝐸) ⟺ 𝐷 \sim 𝐸,

其中 isomorphism 指 $O 𝑋$ -modules 的 isomorphism。因此 $𝐷 \mapsto [O 𝑋 (𝐷)]$ 总是诱导 injection $D i v C l (𝑋) ↪ P i c (𝑋)$ 。

证明.

取 tensor product 后，只须证明 $O 𝑋 (𝐷) ≅ O 𝑋$ 当且仅当 $𝐷$ principal。若 $𝐷 = d i v (𝑓)$ ，则 $O 𝑋 (𝐷) = 𝑓 - 1 O 𝑋 ≅ O 𝑋$ 。反之，若 $𝛼 : O 𝑋 \sim ⟶ O 𝑋 (𝐷)$ ，令 $𝑠 = 𝛼 (1)$ 。则 $𝑠$ 全局生成 $O 𝑋 (𝐷)$ ，所以 $𝑠 \in Γ (𝑋, K 𝑋) \times$ ， $O 𝑋 (𝐷) = 𝑠 O 𝑋$ ，进而 $𝐷 = d i v (𝑠 - 1)$ 。 ∎

这也给出 exact sequence

1 ⟶ Γ (𝑋, O 𝑋) \times ⟶ Γ (𝑋, K 𝑋) \times ⟶ D i v (𝑋) 𝐷 \mapsto [O 𝑋 (𝐷)] \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to P i c (𝑋) .

它可由 short exact sequence of sheaves $1 \to O \times 𝑋 \to K \times 𝑋 \to K \times 𝑋 / O \times 𝑋 \to 1$ 的 cohomology sequence 得到。最后一个箭头的像是那些能够嵌入 $K 𝑋$ 的 line bundles 的 classes；一般 scheme 上它未必 surjective。

命题 1.31 (原书 Proposition 11.29).

若 $𝑋$ 满足下列条件之一：

(1)

$𝑋$ integral；
(2)

$𝑋$ locally noetherian，且含有一个 schematically dense affine open subset，

则 $𝐷 \mapsto [O 𝑋 (𝐷)]$ surjective，从而

D i v C l (𝑋) ≅ P i c (𝑋) .

证明.

先考虑 integral 情形。给定 line bundle $L$ ，选一个 generic fiber 的 isomorphism $L 𝜂 ≅ 𝐾 (𝑋)$ 。由于 $𝑋$ integral， $L$ 的局部 sections 到 generic fiber 的映射是 injective，故得到 $L ↪ K 𝑋$ 。

在第二种情形，设 $𝑈 = S p e c 𝐴$ 是所给的 affine open， $L | 𝑈 = ̃ 𝑀$ ，其中 $𝑀$ 是 rank one projective $𝐴$ -module。令 $𝑆$ 为 $𝐴$ 的 non-zero-divisors。 noetherian 性保证 $A s s (𝐴)$ 有限，且 $𝑆 = 𝐴 ∖ ⋃ 𝔭 \in A s s (𝐴) 𝔭$ 。由 prime avoidance， $𝑆 - 1 𝐴$ 是 semi-local ring。 semi-local ring 上的 rank one projective module 是 free，故

𝑀 ↪ 𝑆 - 1 𝑀 ≅ 𝑆 - 1 𝐴 = Γ (𝑈, K 𝑋) .

第一个箭头 injective，因为 $𝑀$ projective，每个 $𝑠 \in 𝑆$ 在 $𝑀$ 上的乘法也 injective。这给出 $L | 𝑈 ↪ K 𝑋 | 𝑈$ 。在 $L$ 的每个 trivializing open $𝑉$ 上，该嵌入由 $𝑈 \cap 𝑉$ 上的一个可逆 meromorphic function 给出。 $𝑈 \cap 𝑉$ 在 $𝑉$ 中 schematically dense；由命题 1.14，这个函数唯一延拓为 $𝑉$ 上的可逆 meromorphic function。唯一性保证这些局部嵌入拼接为 $L ↪ K 𝑋$ 。两种情形中，所得 image 都是 invertible fractional ideal，故等于某个 $O 𝑋 (𝐷)$ 。结合命题 1.30 即得结论。 ∎

推论 1.32 (原书 Corollary 11.30 与 Remark 11.31).

若 $𝑋$ noetherian and reduced，或 $𝑋$ 是 noetherian ring $𝑅$ 上的 projective space $𝐏 𝑛 𝑅$ 的 subscheme，则 $D i v C l (𝑋) ≅ P i c (𝑋)$ 。更一般地，noetherian scheme 上存在 ample line bundle 时也有此结论。

证明.

在 reduced 情形， $𝑋$ 只有有限个 irreducible components。在每个 component 中选一个避开其余 components 的非空 affine open；它们的有限 disjoint union 是 $𝑋$ 的 dense affine open，由 reduced 性也是 schematically dense。对 projective space 的 subscheme，以及有 ample line bundle 的情形，使用 affine neighborhood 定理：有限集合 $A s s (𝑋)$ 包含在一个 affine open 中。该 open 是 schematically dense，故可应用命题 1.31。后一事实依赖原书第 13 章的 ample line bundle 理论。 ∎

Support of a divisor

定义 1.33 (Support；原书 Definition 11.32).

若 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ ，定义

S u p p (𝐷) = {𝑥 \in 𝑋 : 𝐷 𝑥 \neq 0} = {𝑥 \in 𝑋 : (𝑓 𝑖) 𝑥 \notin O \times 𝑋, 𝑥, 𝑥 \in 𝑈 𝑖} .

这里 $𝐷 𝑥 = 0$ 表示 quotient sheaf 中的平凡类；用乘法记号时即为 $1$ 。

备注 1.34 (Canonical section；原书 Remark 11.33).

$S u p p (𝐷)$ 是 closed subset，因为 $𝐷 𝑥 = 0$ 意味着 $𝐷$ 在一个邻域上为零。若 $𝐷$ effective，它就是命题 1.26 中 closed subscheme 的 underlying space。在 $𝐷$ effective 的 open locus $𝑈 e f f$ 上， meromorphic function $1$ 属于 $O 𝑋 (𝐷)$ ，称为 canonical section $𝑠 𝐷$ 。相对于局部 basis $𝑓 - 1 𝑖$ ，它的系数是 $𝑓 𝑖$ ，因为 $1 = 𝑓 𝑖 \cdot 𝑓 - 1 𝑖$ 。所以它的 zero scheme 恰好是 $𝐷$ 。在 $𝑋 ∖ S u p p (𝐷)$ 上，它处处生成 line bundle，给出 $O 𝑋 (𝐷) ≅ O 𝑋$ 的自然 trivialization。

命题 1.35 (原书 Proposition 11.34).

固定 line bundle $L$ ，令 $𝑅 L$ 为其全局 regular sections 的集合。则有自然 bijection

{𝐷 \geq 0 : O 𝑋 (𝐷) ≅ L} ⟷ 𝑅 L / Γ (𝑋, O 𝑋) \times,

其中右侧的 units 通过乘法作用在 sections 上。

证明.

给定 $𝐷 \geq 0$ 和 $𝛼 : O 𝑋 (𝐷) \sim ⟶ L$ ，取 $𝛼 (𝑠 𝐷)$ 。它是 regular section；更换 $𝛼$ 只会乘上全局 unit。反之，取 $𝑠 \in 𝑅 L$ ，在局部 basis $𝑒 𝑖$ 下写 $𝑠 = 𝑓 𝑖 𝑒 𝑖$ 。 regularity 保证 $𝑓 𝑖$ 是 non-zero-divisor；basis 的 transition functions 又保证 $𝑓 𝑖 / 𝑓 𝑗$ 是 unit。因此 ${(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)}$ 定义 effective Cartier divisor。映射 $𝑓 - 1 𝑖 \mapsto 𝑒 𝑖$ 拼接为 $O 𝑋 (𝐷) ≅ L$ ，并将 $𝑠 𝐷$ 送到 $𝑠$ 。两个构造互逆。 ∎

这里要求 regular section，而不只是非零 section。在 integral scheme 上，一个非零 line bundle section 自动 regular；在 reducible 或 nonreduced scheme 上则未必。

引理 1.36 (原书 Lemma 11.35).

若 $𝑋$ locally noetherian，则任何 Cartier divisor $𝐷$ 都满足 $c o d i m 𝑋 S u p p (𝐷) \geq 1$ 。特别地，它的 support 不包含任何 irreducible component 的 generic point。

证明.

若 $d i m O 𝑋, 𝜂 = 0$ ，则这个 local ring 是 Artinian，其中每个 non-zero-divisor 都是 unit。因此 $F r a c (O 𝑋, 𝜂) = O 𝑋, 𝜂$ ，由命题 1.14 可知 $𝐷 𝜂 = 0$ 。 ∎

更强地， $𝑋 ∖ S u p p (𝐷)$ 是 schematically dense：在 associated point 处，local ring 中的 nonunits 都是 zero divisors，故 local equation 的分子、分母都是 units， $𝐷$ 在那里为零。

1.5 Cartier divisors and Weil divisors

对应原书 (11.13)，第 309–312 页。本小节设 $𝑋$ noetherian。若 $𝐶$ 是 irreducible closed subset， $𝜂 𝐶$ 是其 generic point，记

O 𝑋, 𝐶 = O 𝑋, 𝜂 𝐶, c o d i m 𝑋 𝐶 = d i m O 𝑋, 𝐶 .

赋予 $𝐶$ reduced induced scheme structure 后，它是 closed integral subscheme。

定义 1.37 (Weil divisor；原书 Definition 11.36).

记 $𝑋 1$ 为 codimension one 的 closed integral subschemes 的集合。每个 $𝐶 \in 𝑋 1$ 称为 prime Weil divisor。定义 free abelian group

𝑍 1 (𝑋) = ⨁ 𝐶 \in 𝑋 1 𝐙 [𝐶] .

一个 Weil divisor 是 $𝑍 1 (𝑋)$ 的元素，即有限形式和 $𝑊 = \sum 𝐶 𝑛 𝐶 [𝐶]$ ，其中 $𝑛 𝐶 \in 𝐙$ 。若所有 $𝑛 𝐶 \geq 0$ ，称 $𝑊$ 为 effective Weil divisor，记 $𝑊 \in 𝑍 1 + (𝑋)$ 。

Weil divisor 的定义本身不需要 $𝑋$ normal。需要额外假设的是：能否把 Cartier data 完全转换为这种形式和，以及能否从形式和恢复 Cartier data。首先必须定义局部方程沿 $𝐶$ 的 vanishing order。

引理 1.38 (Order via length；原书 Lemma 11.37).

设 $𝐴$ 是 dimension one 的 noetherian local ring。对 $𝑓 \in F r a c (𝐴) \times$ ，写 $𝑓 = 𝑎 / 𝑏$ ，其中 $𝑎, 𝑏$ 都是 non-zero-divisors，定义

o r d 𝐴 (𝑓) = ℓ 𝐴 (𝐴 / (𝑎)) - ℓ 𝐴 (𝐴 / (𝑏)) .

这里 $ℓ 𝐴$ 表示 module length。两个 lengths 都有限，定义与表示无关，并且

o r d 𝐴 (𝑓 𝑔) = o r d 𝐴 (𝑓) + o r d 𝐴 (𝑔), o r d 𝐴 (𝑢) = 0 (𝑢 \in 𝐴 \times) .

证明.

若 $𝑎$ 是 non-zero-divisor，则它不在任何 minimal prime 中。由于 $d i m 𝐴 = 1$ ， $𝐴 / (𝑎)$ 是 dimension zero 的 noetherian local ring，故 Artinian，length 有限。对 non-zero-divisors $𝑎, 𝑏$ ，有 exact sequence

0 ⟶ 𝐴 / (𝑎) \cdot 𝑏 \to 𝐴 / (𝑎 𝑏) ⟶ 𝐴 / (𝑏) ⟶ 0 .

故 $ℓ 𝐴 (𝐴 / (𝑎 𝑏)) = ℓ 𝐴 (𝐴 / (𝑎)) + ℓ 𝐴 (𝐴 / (𝑏))$ 。若 $𝑎 / 𝑏 = 𝑐 / 𝑑$ ，则 $𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑐$ ，上述可加性说明两种表示得到相同的 order。它也直接给出乘法可加性。unit $𝑢$ 满足 $𝐴 / (𝑢) = 0$ ，故 order 为零。 ∎

备注 1.39 (Discrete valuation 的情形).

若 $𝐴$ 是 discrete valuation ring，取 uniformizer $𝜋$ 。将 $𝑓$ 写成 $𝑢 𝜋 𝑚$ ，其中 $𝑢$ 是 unit，则 $o r d 𝐴 (𝑓) = 𝑚$ ，恰好是 normalized discrete valuation。 length 的定义使我们在 local ring 不是 discrete valuation ring 时仍能定义 order。

定义 1.40 (Cycle of a Cartier divisor).

给定 $𝐷 = {(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)} 𝑖$ 与 $𝐶 \in 𝑋 1$ ，选 $𝜂 𝐶 \in 𝑈 𝑖$ ，定义

o r d 𝐶 (𝐷) = o r d O 𝑋, 𝐶 ((𝑓 𝑖) 𝜂 𝐶) .

两个 local equations 相差 local unit，由引理 1.38，此定义与选择无关。定义 cycle homomorphism

c y c : D i v (𝑋) ⟶ 𝑍 1 (𝑋), 𝐷 ⟼ \sum 𝐶 \in 𝑋 1 o r d 𝐶 (𝐷) [𝐶] .

正系数表示 zero 的重数，负系数表示 pole 的负重数。

该和确实有限：若 $o r d 𝐶 (𝐷) \neq 0$ ，则 $𝐶 \subseteq S u p p (𝐷)$ 。由引理 1.36，这样的 codimension one 子集必为 support 的 irreducible component，而 noetherian closed subset 只有有限个 irreducible components。 order 的可加性同时说明 $c y c$ 是 group homomorphism。

例 1.41 (从局部方程 $𝑡 2$ 到 Weil divisor).

取 $𝑋 = 𝐏 1 𝑘$ ，homogeneous coordinates 为 $𝑇 0, 𝑇 1$ 。令 $𝑈 0 = 𝐷 + (𝑇 0)$ ， $𝑈 1 = 𝐷 + (𝑇 1) = S p e c 𝑘 [𝑡]$ ，其中 $𝑡 = 𝑇 0 / 𝑇 1$ ，并记 $𝑝 = [0 : 1]$ 。考虑 Cartier data

𝐷 = {(𝑈 0, 1), (𝑈 1, 𝑡 2)} .

交集上 $𝑡$ 可逆，所以两个 local equations 的比值 $𝑡 2$ 是 unit，这些数据确实定义一个 effective Cartier divisor。它在 $𝑈 0$ 上没有 zero，在 $𝑈 1$ 上的 zero scheme 为 $S p e c (𝑘 [𝑡] / (𝑡 2))$ ，是支持在 $𝑝$ 的 double point。

$𝑋$ 上的 prime Weil divisors 就是 closed points。在 $𝑝$ 处，local ring $O 𝑋, 𝑝 = 𝑘 [𝑡] (𝑡)$ 是以 $𝑡$ 为 uniformizer 的 discrete valuation ring，故

o r d 𝑝 (𝐷) = 𝑣 𝑝 (𝑡 2) = 2 .

也可以按 length 的定义计算： $ℓ O 𝑋, 𝑝 (O 𝑋, 𝑝 / (𝑡 2)) = 2$ 。对任何其他 closed point $𝑞 \neq 𝑝$ ，对应的 local equation 是 unit，所以 $o r d 𝑞 (𝐷) = 0$ 。因此

c y c (𝐷) = \sum 𝑞 \in 𝑋 c l o s e d o r d 𝑞 (𝐷) [𝑞] = 2 [𝑝] .

Cartier 描述用 local equation $𝑡 2$ 记录这个 double point， Weil 描述则把 reduced point $𝑝$ 与整数重数 $2$ 分别记录为 $2 [𝑝]$ 。这里的映射只需各处的 local equations，不要求 $𝐷$ principal。若把 $𝑡 2$ 换成 $𝑡$ ，所得 Cartier divisor 就映到 $[𝑝]$ 。

定义 1.42 (Principal Weil divisor 与 Weil divisor class group).

对 $𝑓 \in Γ (𝑋, K 𝑋) \times$ ，记 $c y c (𝑓) = c y c (d i v (𝑓))$ 。这样的 Weil divisor 称为 principal，所有这些元素组成 $𝑍 1 p r i n c (𝑋)$ 。定义

C l (𝑋) = 𝑍 1 (𝑋) / 𝑍 1 p r i n c (𝑋) .

因此 $c y c$ 诱导 $D i v C l (𝑋) \to C l (𝑋)$ 。

备注 1.43 (从 principal Cartier divisor 看 principal Weil divisor).

通常先学习 Weil divisors 时，会直接把一个非零 rational function 沿 codimension one 子集的 orders 组成的形式和定义为 principal Weil divisor。本文先学习 Cartier divisors，则可以将同一个构造分成两步：给定 $𝑓 \in Γ (𝑋, K 𝑋) \times$ ，先取由全局方程给出的 principal Cartier divisor $d i v (𝑓) = {(𝑋, 𝑓)}$ ，再取它的 cycle，得到 principal Weil divisor。为区分这两个对象，在本备注中记

d i v W e i l (𝑓) = c y c (d i v C a r t i e r (𝑓)) = \sum 𝐶 \in 𝑋 1 o r d 𝐶 (𝑓) [𝐶] .

这里仍沿用本小节 $𝑋$ noetherian 的假设。

特别地，若 $𝑋$ integral and normal，则 $Γ (𝑋, K 𝑋) \times = 𝐾 (𝑋) \times$ ，每个 $O 𝑋, 𝐶$ 都是 discrete valuation ring，上式中的 $o r d 𝐶 (𝑓)$ 就是 normalized valuation $𝑣 𝐶 (𝑓)$ 。这正是先讲 Weil divisors 时熟悉的定义。所以两种讲授顺序在 principal divisors 上描述的是同一个构造： Cartier 描述把 $𝑓$ 作为 local equations 的全局代表，并按 units 的等价关系理解它， Weil 描述记录这个方程在 codimension one 处的 zero/pole 重数。

principal Cartier divisor 与 principal Weil divisor 分别属于 $D i v (𝑋)$ 和 $𝑍 1 (𝑋)$ ，二者通过 $c y c$ 联系。这并不要求所有 Weil divisors 都能来自 Cartier divisors；对全体 divisors 的比较见定理 1.46。

这里 $D i v C l (𝑋)$ 使用 Cartier divisors， $C l (𝑋)$ 使用 Weil divisors。一般情形下， $c y c$ 未必 injective，也未必 surjective。

定义 1.44 (Locally factorial；原书 Definition 11.38).

若每个 local ring $O 𝑋, 𝑥$ 都是 factorial ring，即 unique factorization domain，则称 $𝑋$ locally factorial。

命题 1.45 (原书 Proposition 11.39).

对 locally noetherian scheme $𝑋$ ，有 implications

r e g u l a r ⟹ l o c a l l y f a c t o r i a l ⟹ n o r m a l

而 normality 进一步保证每个 $O 𝑋, 𝐶$ （ $𝐶 \in 𝑋 1$ ）都是 discrete valuation ring。此外，locally factorial 等价于：每个 local ring 都是 integral domain，且每个 prime Weil divisor 都是 effective Cartier divisor，即其 ideal sheaf 局部由一个 non-zero-divisor 生成。

证明.

使用三个 commutative algebra 事实：regular local rings 是 factorial； factorial domains 是 integrally closed；dimension one 的 noetherian normal local domains 是 discrete valuation rings。最后的等价性来自判别：noetherian domain factorial 当且仅当其每个 height one prime ideal 都是 principal。 local ring 中的这种 prime ideal 对应一个经过该点的 prime Weil divisor，且 ideal 的局部 generator 可在一个足够小的邻域上延拓为 generator。 ∎

定理 1.46 (Cartier–Weil comparison；原书 Theorem 11.40).

设 $𝑋$ noetherian。

(1)

若 $𝑋$ normal，则 $c y c : D i v (𝑋) \to 𝑍 1 (𝑋)$ injective，且 $c y c (𝐷)$ effective 当且仅当 $𝐷$ effective。因而 $D i v C l (𝑋) ↪ C l (𝑋)$ 。
(2)

若 $𝑋$ locally factorial，则 $c y c$ 是 isomorphism，且 $D i v C l (𝑋) ≅ C l (𝑋)$ 。

证明.

(1) 在 normal affine neighborhood 上，可设 $𝑋 = S p e c 𝐴$ ，其中 $𝐴$ 是 noetherian integrally closed domain， $𝐷$ 由 $𝑓 \in 𝐾 (𝑋) \times$ 给出。使用 normal domain 的 intersection formula

𝐴 = ⋂ h t 𝔭 = 1 𝐴 𝔭 （在 F r a c (𝐴) 内） .

若 $c y c (𝐷) \geq 0$ ，每个 height one 的 valuation 都满足 $𝑣 𝔭 (𝑓) \geq 0$ ，故 $𝑓 \in 𝐴 𝔭$ ，进而 $𝑓 \in 𝐴$ ，所以 $𝐷$ effective。反向由 length 的定义立即得到。若 $c y c (𝐷) = 0$ ，则 $𝐷$ 与 $- 𝐷$ 都 effective，所以 $𝑓$ 与 $𝑓 - 1$ 都在结构层中，即 $𝑓$ 是 unit；故 $𝐷 = 0$ 。这证明 injectivity。若 $c y c (𝐷) = c y c (𝑓)$ ， injectivity 还给出 $𝐷 = d i v (𝑓)$ ，所以 classes 上的映射也 injective。

(2) locally factorial 蕴含 normal。对每个 prime Weil divisor $𝐶$ ，命题 1.45 保证 $I 𝐶$ 局部由 non-zero-divisor $𝑓 𝑖$ 生成，故 ${(𝑈 𝑖, 𝑓 𝑖)}$ 给出 effective Cartier divisor。在 $𝜂 𝐶$ 处， $𝑓 𝑖$ 生成 discrete valuation ring 的 maximal ideal，所以 order 为 $1$ ；在其他 prime Weil divisors 处 order 为 $0$ 。因此其 cycle 恰为 $[𝐶]$ 。将这个构造按整数系数延拓，即得到 $c y c$ 的 inverse。 ∎

备注 1.47 (假设各自保证什么).

normality 保证 Cartier divisor 由 codimension one 的 orders 唯一确定，但不保证任意 Weil divisor 有 local equations。 locally factorial 则进一步保证每个 prime Weil divisor 都有这样的 local equations。因此在 regular noetherian schemes 上，两种 divisor 可以自然识别。

备注 1.48 (Valuation description；原书 Remark 11.41).

设 $𝑋$ integral、noetherian 且 locally factorial。将 $𝐷 = \sum 𝐶 𝑛 𝐶 [𝐶]$ 视为对应的 Cartier divisor，则对非空 open $𝑈$ ，

Γ (𝑈, O 𝑋 (𝐷)) = {𝑠 \in 𝐾 (𝑋) : 𝑣 𝐶 (𝑠) \geq - 𝑛 𝐶 对所有 𝐶 \in 𝑋 1 𝑈},

其中 $𝑋 1 𝑈 = {𝐶 \in 𝑋 1 : 𝐶 \cap 𝑈 \neq \emptyset}$ ，约定 $𝑣 𝐶 (0) = + \infty$ 。这正是备注 1.25 的具体形式： $𝑛 𝐶 > 0$ 时允许至多 $𝑛 𝐶$ 阶 pole， $𝑛 𝐶 < 0$ 时要求至少 $- 𝑛 𝐶$ 阶 zero。结合命题 1.5，得到 $C l (𝑋) ≅ P i c (𝑋)$ 。

命题 1.49 (Restriction of divisor classes；原书 Proposition 11.42).

设 $𝑍 \subseteq 𝑋$ 是不包含 $𝑋$ 的 irreducible component 的 closed subset， $𝑈 = 𝑋 ∖ 𝑍$ schematically dense。令 $𝑍 1, \dots, 𝑍 𝑟$ 为 $𝑍$ 中 codimension one 的 irreducible components。则有 exact sequence

𝑟 ⨁ 𝑖 = 1 𝐙 [𝑍 𝑖] ⟶ C l (𝑋) ⟶ C l (𝑈) ⟶ 0 .

第一个箭头将 $[𝑍 𝑖]$ 送到它的 divisor class；它未必 injective。

证明.

restriction 将 $[𝐶]$ 送到 $[𝐶 \cap 𝑈]$ ；若 $𝐶 \cap 𝑈 = \emptyset$ ，则送到 $0$ 。 $𝑈$ 上每个 prime Weil divisor 的 closure 都是 $𝑋$ 上的 prime Weil divisor，故 $𝑍 1 (𝑋) \to 𝑍 1 (𝑈)$ surjective，其 kernel 由 $[𝑍 𝑖]$ 生成。若 $𝑊 | 𝑈 = c y c (𝑓 𝑈)$ ，由 schematic density 和命题 1.14， $𝑓 𝑈$ 唯一延拓为 $𝑓 \in Γ (𝑋, K 𝑋) \times$ 。于是 $𝑊 - c y c (𝑓)$ 支持在 $𝑍$ 中，是 $[𝑍 𝑖]$ 的整数线性组合。这说明 classes 上的 kernel 也是这些 classes 的像。 ∎

这些 restriction maps 与 Cartier–Weil comparison、associated line bundle 都相容，即下图 commutes：

推论 1.50 (原书 Corollary 11.43).

若 $𝑋$ noetherian and locally factorial， $𝑍 \subseteq 𝑋$ closed， $c o d i m 𝑋 𝑍 \geq 1$ ，则

P i c (𝑋) ⟶ P i c (𝑋 ∖ 𝑍)

surjective。若 $c o d i m 𝑋 𝑍 \geq 2$ ，则该映射是 isomorphism。

证明.

$𝑋$ normal，故 reduced，所给的 complement schematically dense。利用 $P i c ≅ D i v C l ≅ C l$ 及命题 1.49 即得。 codimension 至少为 $2$ 时没有 $𝑍 𝑖$ ，因此 kernel 为零。 ∎

1.6 Examples for divisor class groups

对应原书 (11.14)，第 312–314 页。例子的次序仍与原书一致。

例 1.51 (Factorial rings；原书 Example 11.44).

若 $𝐴$ 是 noetherian integrally closed domain，则

𝐴 f a c t o r i a l ⟺ C l (S p e c 𝐴) = 0 .

正向是因为每个 height one prime ideal 都由一个元素生成，故每个 prime Weil divisor 都 principal。反向中，一个 prime Weil divisor 的 class 为零，则它等于某个 $c y c (𝑓)$ 。 normality 保证 $𝑓 \in 𝐴$ ；而 $𝑓$ 仅在该 height one prime 处有 order $1$ ，所以由 normal domain 的 intersection formula，该 prime ideal 恰为 $(𝑓)$ 。于是所有 height one prime ideals 都 principal，得到 factoriality。

factorial 情形还有

P i c (S p e c 𝐴) = D i v C l (S p e c 𝐴) = C l (S p e c 𝐴) = 0 .

特别地， $𝑘 [𝑇 1, \dots, 𝑇 𝑛]$ factorial，所以 $P i c (𝐀 𝑛 𝑘) = C l (𝐀 𝑛 𝑘) = 0$ 。这里 class groups 为零表示 divisors 都 linearly equivalent to zero，并不表示 $D i v (𝐀 𝑛 𝑘) = 0$ 。

例 1.52 (Projective space；原书 Example 11.45).

设 $𝑛 \geq 1$ ， $𝑆 = 𝑘 [𝑇 0, \dots, 𝑇 𝑛]$ ， $𝑋 = 𝐏 𝑛 𝑘$ 。 prime Weil divisors 恰为 $𝑉 + (𝐹)$ ，其中 $𝐹$ 是 irreducible homogeneous polynomial，且 $𝐹$ 只确定到非零常数倍。令 $𝑅 \subseteq F r a c (𝑆) \times$ 为非零 homogeneous fractions $𝐺 / 𝐻$ 组成的群。定义 $d e g (𝐺 / 𝐻) = d e g 𝐺 - d e g 𝐻$ 。 factoriality 给出

𝑍 : 𝑅 ⟶ 𝑍 1 (𝑋), \prod 𝛼 𝐹 𝑚 𝛼 𝛼 ⟼ \sum 𝛼 𝑚 𝛼 [𝑉 + (𝐹 𝛼)],

其中 $𝑚 𝛼$ 可以为负。该映射 surjective，kernel 为 $𝑘 \times$ 。而 $𝑋$ 上的 rational functions 必须是 degree zero 的 homogeneous fractions，即

𝐾 (𝑋) \times = k e r (d e g : 𝑅 \to 𝐙) .

从这个 kernel 的等式到 divisor class group 的同构，还需要说明下面两个步骤。

第一步：为什么 $C l (𝑋) ≅ 𝑅 / 𝐾 (𝑋) \times$ ？ 记 $c l (𝑊)$ 为 Weil divisor $𝑊$ 在 $C l (𝑋)$ 中的 class，考虑

Ψ : 𝑅 ⟶ C l (𝑋), 𝑟 ⟼ c l (𝑍 (𝑟)) .

$𝑍$ surjective，所以 $Ψ$ 也 surjective。若 $𝑟 \in 𝐾 (𝑋) \times$ ，则 $𝑍 (𝑟)$ 是 principal Weil divisor，故 $Ψ (𝑟) = 0$ 。反过来，若 $Ψ (𝑟) = 0$ ，则 $𝑍 (𝑟)$ principal；由 principal Weil divisor 的定义，存在 $𝑓 \in 𝐾 (𝑋) \times$ 使 $𝑍 (𝑟) = 𝑍 (𝑓)$ 。于是

𝑍 (𝑟 / 𝑓) = 0 ⟹ 𝑟 / 𝑓 \in 𝑘 \times,

其中使用了 $k e r 𝑍 = 𝑘 \times$ 。因为 $𝑘 \times \subseteq 𝐾 (𝑋) \times$ ，所以 $𝑟 \in 𝐾 (𝑋) \times$ 。这证明 $k e r Ψ = 𝐾 (𝑋) \times$ 。由 first isomorphism theorem， $Ψ$ 给出 isomorphism

―― Ψ : 𝑅 / 𝐾 (𝑋) \times \sim ⟶ C l (𝑋), 𝑟 𝐾 (𝑋) \times ⟼ c l (𝑍 (𝑟)) .

也就是说，两个 homogeneous fractions $𝑟, 𝑠$ 给出同一个 divisor class，当且仅当 $𝑟 / 𝑠$ 是 $𝑋$ 上的非零 rational function。原来的 $𝑍$ 只把非零常数看成平凡；再取 divisor class 后，所有 rational functions 给出的 principal divisors 都被看成零。

第二步：为什么 $𝑅 / 𝐾 (𝑋) \times ≅ 𝐙$ ？ degree 是 group homomorphism， $d e g (𝑟 𝑠) = d e g 𝑟 + d e g 𝑠$ 。它 surjective，因为对每个 $𝑚 \in 𝐙$ ， $𝑇 𝑚 0 \in 𝑅$ 且 $d e g (𝑇 𝑚 0) = 𝑚$ 。结合 $k e r d e g = 𝐾 (𝑋) \times$ ，first isomorphism theorem 给出

――― d e g : 𝑅 / 𝐾 (𝑋) \times \sim ⟶ 𝐙, 𝑟 𝐾 (𝑋) \times ⟼ d e g 𝑟 .

“degree 诱导” 指的就是上面的映射：用一个 coset 的任意 representative $𝑟$ 的 degree 来定义这个 coset 对应的整数。可以直接检查这个定义：

(1)

well-defined：若 $𝑟 𝐾 (𝑋) \times = 𝑠 𝐾 (𝑋) \times$ ，则 $𝑟 / 𝑠 \in 𝐾 (𝑋) \times$ ，所以 $d e g 𝑟 - d e g 𝑠 = d e g (𝑟 / 𝑠) = 0$ 。
(2)

injective：若 $d e g 𝑟 = d e g 𝑠$ ，则 $d e g (𝑟 / 𝑠) = 0$ ，故 $𝑟 / 𝑠 \in 𝐾 (𝑋) \times$ ，两者属于同一个 coset。
(3)

surjective：整数 $𝑚$ 是 coset $𝑇 𝑚 0 𝐾 (𝑋) \times$ 的像。

更具体地，若 $𝑑 = d e g 𝑟$ ，则 $𝑟 / 𝑇 𝑑 0 \in 𝐾 (𝑋) \times$ ，所以

𝑟 𝐾 (𝑋) \times = 𝑇 𝑑 0 𝐾 (𝑋) \times .

因此这个商群的每个元素都唯一写成 $𝑇 𝑑 0 𝐾 (𝑋) \times$ ； cosets 的乘法对应于指数的加法，这就解释了它为什么是 $𝐙$ 。

把两步合起来，得到

C l (𝑋) ―― Ψ ⟵ \sim 𝑅 / 𝐾 (𝑋) \times ――― d e g \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to \sim 𝐙 .

所以最终的 degree map 是

C l (𝑋) ⟶ 𝐙, c l (𝑍 (𝑟)) ⟼ d e g 𝑟 .

第一步保证 divisor class 可以用 coset 表示，第二步保证 coset 的 degree 与 representative 的选择无关，并且唯一确定这个 coset。于是得到

C l (𝐏 𝑛 𝑘) ≅ 𝐙, D i v C l (𝐏 𝑛 𝑘) ≅ P i c (𝐏 𝑛 𝑘) ≅ 𝐙 .

至于 Cartier divisor classes 与 line bundles，由于 $𝑋 = 𝐏 𝑛 𝑘$ regular，故 locally factorial，定理 1.46 给出 $D i v C l (𝑋) ≅ C l (𝑋)$ ；而命题 1.5 给出 $D i v C l (𝑋) ≅ P i c (𝑋)$ 。这些同构将上面的整数分类传递给 Cartier divisor classes 和 line bundles。 hyperplane $𝐻 0 = 𝑉 + (𝑇 0)$ 的 class 对应 $1$ ；degree $𝑑$ 的 hypersurface 对应 $𝑑$ 。具体地，若 $𝐹$ homogeneous 且 $d e g 𝐹 = 𝑑$ ，对应的 Cartier divisor 的 local equations 是

(𝐷 + (𝑇 𝑖), 𝐹 / 𝑇 𝑑 𝑖) 𝑖 .

交集上的比值 $(𝑇 𝑗 / 𝑇 𝑖) 𝑑$ 是 unit，因此满足 Cartier gluing condition。

备注 1.53 (用 degree 直观理解 divisor class group).

$C l (𝐏 𝑛 𝑘) ≅ 𝐙$ 的意思是：在 $𝐏 𝑛 𝑘$ 上，两个 Weil divisors linearly equivalent 当且仅当它们具有相同的 degree。 degree 记录带符号的重数与 hypersurface degree 的乘积之和：若 $𝑊 = \sum 𝛼 𝑚 𝛼 [𝑉 + (𝐹 𝛼)]$ ，则

d e g 𝑊 = \sum 𝛼 𝑚 𝛼 d e g 𝐹 𝛼 .

因此，一个 hyperplane 的 degree 为 $1$ ，一个 conic 的 degree 为 $2$ ，而 $- 𝐻$ 的 degree 为 $- 1$ 。

先固定一个 hyperplane $𝐻 = 𝑉 + (𝑇 0)$ 。若 $𝐶 = 𝑉 + (𝐹)$ 是 degree $𝑑$ 的 prime hypersurface， $𝐹 / 𝑇 𝑑 0$ 是全局 rational function，并且

d i v W e i l (𝐹 / 𝑇 𝑑 0) = 𝐶 - 𝑑 𝐻 .

所以 $𝐶 \sim 𝑑 𝐻$ ：一个 degree $𝑑$ 的 hypersurface，在 divisor class group 中等于 $𝑑$ 个 hyperplanes 的和。将这个关系按整数系数相加，对任意 Weil divisor $𝑊$ 都得到

𝑊 \sim (d e g 𝑊) 𝐻 .

这说明所有 classes 都由 hyperplane class 生成。

还需要说明不同整数给出不同 classes。任意 rational function 都可以写成两个同 degree 的 homogeneous polynomials 的商 $𝐺 / 𝑄$ ，其 principal Weil divisor 满足

d e g d i v W e i l (𝐺 / 𝑄) = d e g 𝐺 - d e g 𝑄 = 0 .

因此 linear equivalence 保持 degree。若 $𝑎 𝐻 \sim 𝑏 𝐻$ ，就必须有 $𝑎 = 𝑏$ ，所以 hyperplane class 没有非零的整数倍等于零。于是每个 class 都唯一写成整数 $𝑑$ 倍的 hyperplane class，得到

C l (𝐏 𝑛 𝑘) \sim ⟶ 𝐙, 𝑊 的 c l a s s ⟼ d e g 𝑊 .

在这个对应中，degree zero 的 divisors 恰好是 principal divisors。

例 1.54 (Conic 与两条直线的 divisor classes).

在 $𝐏 2 𝑘$ 中，取 conic $𝐶 = 𝑉 + (𝑇 0 𝑇 2 - 𝑇 21)$ ，以及两条直线 $𝐿 0 = 𝑉 + (𝑇 0)$ 、 $𝐿 1 = 𝑉 + (𝑇 1)$ 。由于分子、分母都是 degree $2$ ，

ℎ = 𝑇 0 𝑇 2 - 𝑇 21 𝑇 0 𝑇 1

是一个 rational function，而且

d i v W e i l (ℎ) = 𝐶 - 𝐿 0 - 𝐿 1 .

所以 $𝐶 \sim 𝐿 0 + 𝐿 1$ 。一条 conic 与两条直线的和是不同的 divisors，却属于同一个 degree $2$ 的 class。同样， $d i v W e i l (𝑇 1 / 𝑇 0) = 𝐿 1 - 𝐿 0$ ，故 $𝐿 1 \sim 𝐿 0$ ，从而 $𝐶 \sim 2 𝐿 0$ 。

若 $𝑘$ algebraically closed，degree 还有一个几何解释：将 degree $𝑑$ 的 homogeneous equation 限制到一条不包含在 hypersurface 中的 projective line 上，得到一个 degree $𝑑$ 的非零 homogeneous polynomial in two variables，其 zero scheme 总重数为 $𝑑$ 。因此 conic 与两条直线的和，都与一条 general line 有总重数为 $2$ 的交点。这里的数字 $2$ ，正是它们在 $C l (𝐏 2 𝑘) ≅ 𝐙$ 中对应的整数。

记号 1.55 (Twisting sheaf $O 𝐏 𝑛 𝑘 (𝑑)$ ).

记 $O 𝐏 𝑛 𝑘 (𝑑)$ 为 $𝑑 [𝐻 0]$ 对应的 line bundle 的 isomorphism class。取 $𝑈 𝑖 = 𝐷 + (𝑇 𝑖)$ ，在 homogeneous fractions 中可用 rank one modules

Γ (𝑈 𝑖, O 𝐏 𝑛 𝑘 (𝑑)) = 𝑇 𝑑 𝑖 𝑘 [𝑇 0 / 𝑇 𝑖, \dots, 𝑇 𝑛 / 𝑇 𝑖] = (𝑆 [𝑇 - 1 𝑖]) 𝑑

来实现它。若要把它具体嵌入 $K 𝑋$ ，选择一个 degree $𝑑$ 的非零 homogeneous fraction $𝑞$ ，再将上述 sections 除以 $𝑞$ 。此时 local generator 为 $𝑇 𝑑 𝑖 / 𝑞$ ；不同 $𝑞$ 给出 isomorphic line bundles。

命题 1.56 (Global sections of twisting sheaves).

对 $𝑛 \geq 1$ 及 $𝑑 \in 𝐙$ ，有

Γ (𝐏 𝑛 𝑘, O (𝑑)) ≅ 𝑆 𝑑, d i m 𝑘 Γ (𝐏 𝑛 𝑘, O (𝑑)) = {(𝑛 + 𝑑 𝑛), 𝑑 \geq 0, 0, 𝑑 < 0,

其中 $𝑆 𝑑$ 是 degree $𝑑$ 的 homogeneous polynomials，约定 $𝑑 < 0$ 时 $𝑆 𝑑 = 0$ 。

证明.

在上述 homogeneous fractions 的实现中，全局 section 是如下交集的元素：

𝑛 ⋂ 𝑖 = 0 (𝑆 [𝑇 - 1 𝑖]) 𝑑 .

一个约分后的 fraction 若属于 $𝑆 [𝑇 - 1 𝑖]$ ，其分母只能含因子 $𝑇 𝑖$ 。当 $𝑛 \geq 1$ 时，分母同时满足对所有 $𝑖$ 的这个条件，就只能是常数。因此该交集恰为 $𝑆 𝑑$ 。数 degree $𝑑$ 的 monomials 即得维数公式。 ∎

备注 1.57 (在 $𝐏 1$ 上看 zero 和 pole).

此时 prime Weil divisors 是 closed points。若 $𝑘$ algebraically closed，degree 就是 coefficients 的和。对一般的 $𝑘$ ，应取 $d e g [𝑥] = [𝜅 (𝑥) : 𝑘]$ ，故 $d e g (\sum 𝑥 𝑛 𝑥 [𝑥]) = \sum 𝑥 𝑛 𝑥 [𝜅 (𝑥) : 𝑘]$ 。任意 principal divisor 的 degree 为零，而在 $𝐏 1 𝑘$ 上 degree zero 的 divisor 也都 principal。坐标 $𝑡$ 给出

c y c (𝑡) = [0] - [\infty], [0] \sim [\infty], O ([0]) ≅ O ([\infty]) ≅ O (1) .

这说明两个不同的 divisors 可以定义同一个 line bundle class。

例 1.58 (Products of projective spaces；原书 Example 11.46).

设 $𝑋 = 𝐏 𝑛 1 𝑘 \times 𝑘 \dots \times 𝑘 𝐏 𝑛 𝑟 𝑘$ ，其中 $𝑛 𝑠 \geq 1$ ， $𝑝 𝑠$ 是 projection。将例 1.52 的 homogeneous degree 改为各组坐标中的 multidegree，得到

P i c (𝑋) ≅ D i v C l (𝑋) ≅ C l (𝑋) ≅ 𝐙 𝑟 .

向量 $(𝑑 1, \dots, 𝑑 𝑟)$ 对应

O 𝑋 (𝑑 1, \dots, 𝑑 𝑟) = 𝑟 ⨂ 𝑠 = 1 𝑝 * 𝑠 O 𝐏 𝑛 𝑠 𝑘 (𝑑 𝑠) .

理由是每个 prime Weil divisor 来自一个 irreducible multihomogeneous polynomial，而 rational functions 对应 multidegree zero 的 fractions。特别地， $𝑟 \geq 2$ 时，这种 product 不会 isomorphic to 一个 projective space，因为其 Picard group 的 rank 不同。

例 1.59 (Divisors on Dedekind schemes；原书 Example 11.47).

设 $𝑋$ 是 dimension one 的 noetherian normal integral scheme，即这里所说的 Dedekind scheme。它的 closed points 正是 prime Weil divisors，所有 local rings $O 𝑋, 𝑥$ 在 closed points 处都是 discrete valuation rings。因此 $𝑋$ regular，且

D i v (𝑋) ≅ 𝑍 1 (𝑋) = ⨁ 𝑥 \in 𝑋 c l o s e d 𝐙 [𝑥], P i c (𝑋) ≅ C l (𝑋) .

若 $𝑋 = S p e c O 𝐾$ ，其中 $O 𝐾$ 为 number field $𝐾$ 的 ring of integers，则有 exact sequence

1 ⟶ O \times 𝐾 ⟶ 𝐾 \times 𝑓 \mapsto \sum 𝔭 𝑣 𝔭 (𝑓) [𝔭] \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to D i v (𝑋) ⟶ P i c (𝑋) ⟶ 0 .

将 $\sum 𝑛 𝔭 [𝔭]$ 对应到 fractional ideal $\prod 𝔭 𝑛 𝔭$ ，便得到 algebraic number theory 中的 ideal class group。这里 $I 𝑋 (𝐷)$ 对应这个 ideal，而 $O 𝑋 (𝐷)$ 对应它的 inverse；两种惯例的符号相反，但得到 isomorphic class groups。原书还指出该 class group 有限；这是 number theory 的额外结果，不是 divisor 定义本身的结论。

1.7 The automorphism group of projective space

对应原书 (11.15)，第 315 页。这是 divisor class group 计算的一个应用。

命题 1.60 (原书 Proposition 11.48).

对任意 field $𝑘$ 和 $𝑛 \geq 0$ ，自然映射给出 group isomorphism

P G L 𝑛 + 1 (𝑘) = G L 𝑛 + 1 (𝑘) / (𝑘 \times 𝐼 𝑛 + 1) \sim ⟶ A u t 𝑘 (𝐏 𝑛 𝑘) .

证明.

$𝑛 = 0$ 时两侧都是平凡群。设 $𝑛 \geq 1$ 。 invertible matrix 作用在 homogeneous coordinates 上给出 automorphism，只有 scalar matrices 作用平凡，因此所给映射 injective。若 $𝜑$ 是 $𝐏 𝑛 𝑘$ 的 automorphism， $𝜑 *$ 在 $P i c (𝐏 𝑛 𝑘) ≅ 𝐙$ 上是 group automorphism，故将 generator $O (1)$ 送到 $O (1)$ 或 $O (- 1)$ 。命题 1.56 给出 $ℎ 0 (O (1)) = 𝑛 + 1$ ，而 $ℎ 0 (O (- 1)) = 0$ ； automorphism 的 pullback 保持 global sections 的维数，故只能有 $𝜑 * O (1) ≅ O (1)$ 。选择这样的 isomorphism，得到 $𝐻 0 (𝐏 𝑛 𝑘, O (1))$ 上的 invertible linear map；选择的歧义是 $A u t (O (1)) = Γ (𝐏 𝑛 𝑘, O) \times = 𝑘 \times$ 。以 $𝑇 0, \dots, 𝑇 𝑛$ 为 basis， $𝜑$ 因而由一组独立的 linear forms 给出，即来自一个 invertible matrix。故自然映射也 surjective。 ∎

1.8 Inverse image of divisors

对应原书 (11.16)，第 315–316 页。对 scheme morphism $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ ，line bundle 的 pullback $𝑓 * L$ 总有定义， Cartier divisor 的 pullback 则需要检查 local equations。

定义 1.61 (Pullback of a Cartier divisor；原书 Definition 11.49).

设结构层映射 $𝑓 # : O 𝑌 \to 𝑓 * O 𝑋$ 可以延拓为

K 𝑌 ⟶ 𝑓 * K 𝑋 .

它诱导 quotient sheaves 的映射，进而给出 $𝑓 * : D i v (𝑌) \to D i v (𝑋)$ 。若 $𝐷 = {(𝑉 𝑖, 𝑔 𝑖)} 𝑖$ ，则

𝑓 * 𝐷 = {(𝑓 - 1 𝑉 𝑖, 𝑓 # 𝑔 𝑖)} 𝑖 .

称它为 pullback 或 inverse image。该映射是 group homomorphism，且

𝑓 * O 𝑌 (𝐷) ≅ O 𝑋 (𝑓 * 𝐷) .

这个定义要求能够将所有 meromorphic functions 拉回。即使不能定义整个 $D i v (𝑌)$ 上的 pullback，对某个具体 $𝐷$ ，只要其 local equations 在拉回后仍属于 $K \times 𝑋$ ，上述公式仍能定义 $𝑓 * 𝐷$ 。

例 1.62 (拉回 local equation 可能失败).

取 $𝑌 = 𝐀 1 𝑘$ ， $𝐷 = 𝑉 (𝑡)$ ， $𝑋 = S p e c 𝑘$ 为 origin， $𝑓 : 𝑋 ↪ 𝑌$ 。则 $𝑓 # (𝑡) = 0$ ，它不是 non-zero-divisor，因而不能表示 effective Cartier divisor。 scheme-theoretic inverse image $𝑓 - 1 (𝐷) = 𝑋$ 也不是 $𝑋$ 上的 effective Cartier divisor。同时， $𝑓 * O 𝑌 (𝐷)$ 仍是一个定义良好的 line bundle。

命题 1.63 (原书 Proposition 11.50).

若 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ 满足下列条件之一，则 $O 𝑌 \to 𝑓 * O 𝑋$ 能延拓到 meromorphic function sheaves，因而所有 Cartier divisors 都可拉回：

(a)

$𝑓$ flat；
(b)

$𝑋$ reduced and locally noetherian，且 $𝑋$ 的每个 irreducible component 都 dominates $𝑌$ 的某个 irreducible component。

证明.

只须证明 $𝑓 #$ 将 regular sections 送到 regular sections，这样即可按 localization 的 universal property 延拓，再 sheafify。这个条件可以在 stalks 上检查。在 (a) 中，若 $𝑎$ 是 $O 𝑌, 𝑓 (𝑥)$ 的 non-zero-divisor，将乘法 injection $O 𝑌, 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑎 ⟶ O 𝑌, 𝑓 (𝑥)$ 沿 flat map tensor 到 $O 𝑋, 𝑥$ ，仍是 injection。在 (b) 中，reduced noetherian local ring 的 zero divisors 恰是其 minimal primes 的并。 component 的 dominance 保证 $O 𝑋, 𝑥$ 的每个 minimal prime 在 $O 𝑌, 𝑓 (𝑥)$ 中的 inverse image 也是 minimal prime。源环中的 non-zero-divisor 避开这些 primes，故其像也避开目标环的所有 minimal primes。 ∎

推论 1.64 (原书 Corollary 11.51).

在命题 1.63 的条件下，若 $𝐷 \subseteq 𝑌$ 是 effective Cartier divisor，则 scheme-theoretic inverse image $𝑓 - 1 (𝐷)$ 是 $𝑋$ 上的 effective Cartier divisor，且它对应的 divisor 正是 $𝑓 * 𝐷$ 。

证明.

局部写 $𝑌 = S p e c 𝐴$ ， $𝑋 = S p e c 𝐵$ ， $𝐷 = 𝑉 (𝑎)$ ，其中 $𝑎 \in 𝐴$ 是 non-zero-divisor。若 $𝜙 : 𝐴 \to 𝐵$ 是对应的 ring map，命题保证 $𝜙 (𝑎)$ 也是 non-zero-divisor。于是 $𝑓 - 1 (𝐷) = 𝑉 (𝜙 (𝑎))$ ，而这正是 $𝑓 * 𝐷$ 的 local equation。 ∎

References

[1] U. Görtz and T. Wedhorn (2020) Algebraic geometry i: schemes: with examples and exercises. 2 edition, Springer Spektrum, Wiesbaden. External Links: Document, ISBN 978-3-658-30732-5 Cited by: §1.