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unramified

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<h1 class="rin-doc-title">unramified</h1>

Tag 定义

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unramified

Definition 1 (unramified).

设 𝜋:𝑋→𝑌 是一个概形间的态射。如果 Ω𝜋=0, 那么我们称 𝜋 是 formally unramified. 如果 𝜋 是 formally unramified 并且 locally of finite type，那么我们称 𝜋 为 unramified.

Proposition 2.

The class of unramified morphisms is ”reasonable”.

Proposition 3.

设 𝜋:𝑋→𝑌 是概形间的 locally of finite type 的态射。那么 𝜋 是 unramified ⟺ 𝛿𝜋:𝑋→𝑋×𝑌𝑋 是开浸入。

Proof.

∎

Lemma 4.

一个态射 𝜋:𝑋→𝑌 是 monomorphism ⟺ 𝛿𝜋:𝑋→𝑋×𝑌𝑋 是同构。

Proposition 5.

任何 locally of finite type 的 monomorphism 都是 unramified.

Proof.

因为 monomorphism 意味着 𝛿 是同构，因此是开浸入。 locally of finite type 且 𝛿 是开浸入 ⟺ unramified. ∎

Lemma 6.

开浸入是 locally of finite type 的。

Corollary 7.

局部闭浸入都是 unramified.

Proof.

设 𝑖:𝑋→𝑌 是一个局部闭浸入，那么其 factors into

tikzcd diagram

闭浸入和开浸入都是 locally of finte type 的，locally of finite type 是 reasonable 的态射，所以复合还是 locally of finite type 的。 那么局部闭浸入就是 locally of finite type 的。 浸入都是 monomorphism, monomorphism 也是 reasonable 的，所以复合还是 monomorphism, 故局部闭浸入是 monomorphism. 因此局部闭浸入是 locally of finite type 的 monomorphism, 故而 unramified. ∎

Proposition 8.

设 𝑋,𝑌 是代数闭域上的有限型概形，𝜋:𝑋→𝑌 是概形间的态射。那么 𝜋 是 unramified ⟺ 𝜋 在闭点上的切空间上是单射。

Proposition 9.

设 𝜋:𝑋→𝑌 和 𝜌:𝑌→𝑍 是 locally of finite type. 设 𝜏=𝜌∘𝜋:

tikzcd diagram

  1. 1.

    如果 𝜏 是 unramified, 那么 𝜋 也是 unramified.

  2. 2.

    如果 𝜌 是 unramified 并且 𝜏 是 smooth of relative dimension 𝑛, 那么 𝜋 也是 smooth of relative dimension 𝑛.

Proof.

(1) 主要根据 the Cancellation Theorem for a property 𝑃 of morphisms. 参考 Vakil The rising sea. 11.1.1. 那么根据 𝜏 unramified, 𝛿𝜌 是局部闭浸入因此是 unramified. 那么利用 the Cancellation Theorem 即得 𝜋 是 unramified. ∎

References