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圆周的基本群定理

作者：Satori～

发布于 2026-10-09T02:54:47Z · 公开内容更新于 2026-10-09T03:08:14Z

来自Hatcher代数拓扑的内容，对应书本 Thm1.7 更改了原书的顺序。

圆基本群定理

Satori

崭新万物，正上升幻灭如明星

想要开启这一节的学习，我们要先清楚，何为 Lift。在清楚这个工具后我们可以说进入本书第一个真正的定理。

Lift

直观上来看，我们的 Lift 类似我们在古老的圆塔上走旋转向上的楼梯。假如圆塔拥有层数，一圈一层、一层一圈。这种方式让我们有办法用层数来统计圈数，让在圆上的绕寻不易统计的量有办法统计。

我们就记一个由 $𝐼 \to 𝑆 1$ 的 Loop 为 $𝜔 (𝑠) = (c o s 2 𝜋 𝑠, s i n 2 𝜋 𝑠)$ 。我们的基本同伦群 $𝜋 1 (𝑆 1)$ 是由 $[𝜔]$ 生成的无限循环群（Thm 1.7 后会正式给出）。我们定义 $𝜔 𝑛 (𝑠) = (c o s 2 𝜋 𝑛 𝑠, s i n 2 𝜋 𝑛 𝑠)$ ——由 [[重参数化｜Reparametrization]] 的相关经验我们可以清楚 $[𝜔] 𝑛 = [𝜔 𝑛]$ ，那么在如此复杂的 Loops $𝑓$ 中，我们能否得到唯一的 $𝑛$ 使得 $𝑓 ≃ 𝜔 𝑛$ 呢？

由于 $𝑓$ 可能会出现来回反复横跳，不知道绕几圈的情况，我们如何比较好的计算这样的圈数？我们定义从 $ℝ \to 𝑆 1$ 的映射 $𝑝$ ，同样 $𝑝 (𝑠) = (c o s 2 𝜋 𝑠, s i n 2 𝜋 𝑠)$ 。这样的情况下，我们可以得到对圈数的认证，不妨将其嵌入 $ℝ 3$ ，我们就得到了 Helix $(c o s 2 𝜋 𝑠, s i n 2 𝜋 𝑠, 𝑠)$ ，它向下做投影可以得到 $𝑆 1$ 。我们不妨在此处引出 Lift 的定义。

在上面的例子中，我们可以定义 $̃ 𝜔 𝑛 = 𝑛 𝑠$ ，这是一个 $𝐼 \to ℝ$ 的映射（若 $𝑛 < 0$ 在 Helix 中就是「下楼」）。我们计算 $𝑝 (̃ 𝜔 𝑛) = 𝑝 (𝑛 𝑠) = (c o s 2 𝜋 𝑛 𝑠, s i n 2 𝜋 𝑛 𝑠) = 𝜔 𝑛 (𝑠)$ ，于是有 $𝑝 \circ ̃ 𝜔 𝑛 = 𝜔 𝑛$ 。我们可以更加一般化地得到。

定义 0.1 (Lift).

设有映射 $𝑝 : ̃ 𝑋 \to 𝑋$ 和映射 $𝑓 : 𝑌 \to 𝑋$ 。如果存在映射

̃ 𝑓 : 𝑌 \to ̃ 𝑋

满足

𝑝 \circ ̃ 𝑓 = 𝑓,

那么称 $̃ 𝑓$ 是 $𝑓$ 关于 $𝑝$ 的一个 lift（提升）。

绘制交换图就有

这里我们将 $𝑋$ 称为基空间， $̃ 𝑋$ 构成 $𝑋$ 的覆盖空间：设 $𝑝 : ̃ 𝑋 \to 𝑋$ 是连续满射，对于任意的 $𝑥 \in 𝑋$ ，都存在一个 $𝑥$ 的开邻域 $𝑈 \subset 𝑋$ ，使得 $𝑝 - 1 (𝑈)$ 是一些互不相交的开集的并，并且每一块都通过 $𝑝$ 同胚地映到 $𝑈$ 。我们称 $𝑝$ 为覆盖映射。若 $𝑈 \subset 𝑋$ 满足上述性质，则称 $𝑈$ 是 evenly covered neighborhood（均匀覆盖邻域）。

我们可以利用此前的 Helix 来解释，我们在螺旋线上找到圆上向上「投」的「同一段」，他们显然是不相交。虽然对于整体 $𝑝 : ℝ \to 𝑆 1$ 并不是一一对应的，但是对于每一段我们都有 $̃ 𝑈 𝑘 𝑝 ⟶ ≅ 𝑈$ 。

对于 Covered Space 我们有如下两个性质。

命题 0.2.

(a) 对于任意起点为 $𝑥 0 \in 𝑋$ 的路径 $𝑓 : 𝐼 \to 𝑋$ 以及任意的 $̃ 𝑥 0 \in 𝑝 - 1 (𝑥 0)$ ，存在唯一的 lift $̃ 𝑓 : 𝐼 \to ̃ 𝑋$ 满足

̃ 𝑓 (0) = ̃ 𝑥 0, 𝑝 \circ ̃ 𝑓 = 𝑓 .

(b) 对于任意一个起点于 $𝑥 0$ 的同伦 $𝑓 𝑡 : 𝐼 \to 𝑋$ ，且任意的 $̃ 𝑥 0 \in 𝑝 - 1 (𝑥 0)$ ，有唯一的 lift homotopy $̃ 𝑓 𝑡 : 𝐼 \to ̃ 𝑋$ ，其路径起于 $̃ 𝑥 0$ 。

这将是我们下面定理的等价表示。我们对于这两者的证明也会在下面给出。

圆基本群定理

定理 0.3 (圆基本群).

基本群 $𝜋 1 (𝑆 1, (1, 0))$ 是一个由 $[𝜔]$ 生成的无限循环群，其中

𝜔 (𝑠) = (c o s 2 𝜋 𝑠, s i n 2 𝜋 𝑠) .

证明.

我们要证明 $𝜋 1 (𝑆 1) ≅ ℤ$ ——等价的，每个以 $𝑥 0 = (1, 0)$ 为基点的 loop $𝑓 : 𝐼 \to 𝑆 1$ ，都同伦于唯一一个 $𝜔 𝑛$ 。首先证明 $𝑛$ 的存在性：

任取一个 loop $𝑓 : 𝐼 \to 𝑆 1$ ，满足 $𝑓 (0) = 𝑓 (1) = 𝑥 0$ 。由于 (a) 的 path lifting，选择提升路径 $̃ 𝑓 : 𝐼 \to ℝ$ 使得 $̃ 𝑓 (0) = 0$ 。由于 $𝑝 ̃ 𝑓 = 𝑓$ ，所以 $𝑝 (̃ 𝑓 (1)) = 𝑓 (1) = 𝑥 0$ 。由此对覆盖映射的定义我们知道 $𝑝 - 1 (𝑥 0) = ℤ$ ，因此存在 $𝑛 \in ℤ$ ，使得 $̃ 𝑓 (1) = 𝑛$ 。我们也定义了标准的 Lift Path $̃ 𝜔 𝑛 (𝑠) = 𝑛 𝑠$ 。

由于 $ℝ$ 是凸的，两条端点相同的路径可以通过线性同伦来实现同伦

𝐻 (𝑠, 𝑡) = (1 - 𝑡) ̃ 𝑓 (𝑠) + 𝑡 ̃ 𝜔 𝑛 (𝑠) .

因此 $̃ 𝜔 𝑛 ≃ ̃ 𝑓$ 。同时复合 $𝑝$ ，我们得到 $𝜔 𝑛 ≃ 𝑓$ 。

再者，我们需要证明其唯一性，我们采用反证法：假设存在两个整数 $𝑚, 𝑛$ ，满足

𝑓 ≃ 𝜔 𝑚, 𝑓 ≃ 𝜔 𝑛 .

由同伦关系的传递性和对称性，得到 $𝜔 𝑚 ≃ 𝜔 𝑛$ 。设 $𝑓 𝑡$ 是从 $𝜔 𝑚$ 到 $𝜔 𝑛$ 的路径同伦，我们可以根据 (b) 的 Homotopy Lift 将整个同伦提升到 $ℝ$ ，得到 $̃ 𝑓 𝑡$ ，并使所有提升路径从 $0$ 出发。由于 Lift 的唯一性，

̃ 𝑓 0 = ̃ 𝜔 𝑚 a n d ̃ 𝑓 1 = ̃ 𝜔 𝑛 .

由于 $̃ 𝑓 𝑡$ 是路径的同伦，于是我们必然有 $̃ 𝑓 0 (1) = ̃ 𝑓 1 (1)$ ，也就是 $𝑚 = 𝑛$ 。每个 loop 都同伦于唯一一个 $𝜔 𝑛$ 。

我们直接利用 (a)(b) 的结论，现在我们需要证明 (a)(b)。Hatcher 给一个更一般的结果来推出 (a)(b)。

命题 0.4.

𝐹 : 𝑌 \times 𝐼 \to 𝑋,

给定 $𝐹$ 在 $𝑌 \times {0}$ 上的第一提升 $̃ 𝐹 0 : 𝑌 \times {0} \to ̃ 𝑋$ 。那么存在唯一连续映射 $̃ 𝐹 : 𝑌 \times 𝐼 \to ̃ 𝑋$ ，满足

𝑝 \circ ̃ 𝐹 = 𝐹

并且 $̃ 𝐹$ 在 $𝑌 \times {0}$ 上等于原先给定的 $̃ 𝐹 0$ 。

由 (c) 推出 (a) 只要说明 $𝑌$ 是单点空间， $𝑌 \times 𝐼 ≅ 𝐼$ ，这就是 Path Lifting；推出 (b) 只需要让 $𝑌$ 为 $𝐼$ 即可，此时 $𝐹 : 𝐼 \times 𝐼 \to 𝑋, 𝐹 (𝑠, 𝑡) = 𝑓 𝑡 (𝑠)$ 。

我们来证明这个命题。我们不直接构造 $𝑌 \times 𝐼$ 上的提升，考虑 ${𝑦 0} \times 𝐼 \subset 𝑌 \times 𝐼$ ，再想办法粘合以构造整体。

考虑 $𝑌$ 上 $𝑦 0$ 的开邻域 $𝑁$ ，由于 $𝐹$ 连续，我们有 $𝑁 𝑡 \times (𝑎 𝑡, 𝑏 𝑡)$ 使得它在 $𝐹$ 下的像完全落在某个 evenly covered neighborhood $𝑈 𝑡$ 中。我们对 $𝐼$ 进行有限的划分

0 = 𝑡 0 < 𝑡 1 < \dots < 𝑡 𝑚 = 1,

每一段都满足 $𝐹 (𝑁 \times [𝑡 𝑖, 𝑡 𝑖 + 1]) \subset 𝑈 𝑖$ ， $𝑈 𝑖$ 便是某个 evenly covered neighborhood。

我们已经拥有 $̃ 𝐹 : 𝑁 \times [0, 𝑡 0] = 𝑁 \times {0} \to ̃ 𝑋$ 。我们希望通过归纳法来证明，我们假设 $[0, 𝑡 𝑖]$ 上 Lift 成立，即在 $𝑡 𝑖$ 时，每个 $𝑦 \in 𝑁$ 对应的提升位置 $̃ 𝐹 (𝑦, 𝑡 𝑖)$ 已经确定。由于

𝐹 (𝑁 \times [𝑡 𝑖, 𝑡 𝑖 + 1]) \subset 𝑈 𝑖,

且每个 $𝑈 𝑖$ 都是 evenly covered。我们知道

𝑝 - 1 (𝑈 𝑖) = ⨆ 𝛼 ̃ 𝑈 𝑖, 𝛼 .

将包含 $̃ 𝐹 (𝑦 0, 𝑡 𝑖)$ 的那一层，记作 $̃ 𝑈 𝑖$ 。适当缩小 $𝑁$ ，我们知道 $̃ 𝐹 (𝑁 \times {𝑡 𝑖}) \subset ̃ 𝑈 𝑖$ 。我们在新的 $𝑡$ 区间定义

̃ 𝐹 (𝑦, 𝑡) = (𝑝 | ̃ 𝑈 𝑖) - 1 (𝐹 (𝑦, 𝑡)), 𝑡 \in [𝑡 𝑖, 𝑡 𝑖 + 1] .

因为 $𝑝 | ̃ 𝑈 𝑖$ 是同胚，所以逆映射存在且连续。时间区间只被分为有限段，重复上述操作便可以得到

̃ 𝐹 : 𝑁 \times 𝐼 \to ̃ 𝑋 .

存在性得证。对于唯一性，我们先令 $𝑌 = {*}$ 。假设 $̃ 𝑓$ 和 $̃ 𝑓'$ 是同一条路径 $𝑓 : 𝐼 \to 𝑋$ 的两个 lift，并且

̃ 𝑓 (0) = ̃ 𝑓' (0) .

我们要证明 $̃ 𝑓 = ̃ 𝑓'$ 。Hatcher 这边依旧是使用归纳法，假设 $[0, 𝑡 𝑖]$ 处已经相等，利用 $[𝑡 𝑖, 𝑡 𝑖 + 1]$ 的连通性，归纳得到 $̃ 𝑓 = ̃ 𝑓'$ 。（两条提升路径在 $𝑡 𝑖$ 时刻相等，必须落在同一层中，在同一层中 $𝑝$ 是一一对应的。）

最后，我们粘合局部提升，假设两个邻域 $𝑁 1, 𝑁 2$ 有交集。对于任意 $𝑦 \in 𝑁 1 \cap 𝑁 2$ ，限制在 ${𝑦} \times 𝐼$ 上， $̃ 𝐹 𝑁 1$ 与 $̃ 𝐹 𝑁 2$ 是同一条路径的两个提升，在 $𝑡 = 0$ 时等于给定的提升。由刚才证明的唯一性，它们必然相等。因此

̃ 𝐹 𝑁 1 = ̃ 𝐹 𝑁 2

在重叠部分成立。这些局部提升可以粘合成整个 $𝑌 \times 𝐼$ 上的连续提升

̃ 𝐹 : 𝑌 \times 𝐼 \to ̃ 𝑋 .

唯一性由逐条路径的提升唯一性保证。 ∎