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基本群想法之于基本群

发布于 2026-09-29T12:34:07Z · 公开内容更新于 2026-09-29T12:35:19Z

不难，但是发上去搞不明白

基本群

1 基本群想法的引入

考虑相互链结的圆环 $𝐴, 𝐵$ 。我们固定圆环 $𝐴$ ，并在 $𝐵$ 上选取一点 $𝑥 0$ ，于是可以把 $𝐵$ 看成空间

ℝ 3 - 𝐴

中一条从 $𝑥 0$ 出发最后又回到 $𝑥 0$ 的闭路径。这里之所以考虑 $ℝ 3 - 𝐴$ ，是因为在整个变形过程中我们不允许 $𝐵$ 穿过固定的圆环 $𝐴$ 。

为了描述 $𝐵$ 与 $𝐴$ 的链结程度，我们给 $𝐵$ 赋予一个方向。直观上，可以取一个以 $𝐴$ 为边界的圆盘，并记录 $𝐵$ 穿过这个圆盘的方向：规定一个方向为正，相反方向为负。于是我们用

𝐵 𝑛, 𝑛 \in ℤ

表示与 $𝐴$ 链结 $𝑛$ 次的有向闭路径。例如 $𝐵 1$ 表示正向绕 $𝐴$ 一次， $𝐵 - 1$ 表示反向绕 $𝐴$ 一次，而 $𝐵 0$ 表示与 $𝐴$ 不链结。

若两个闭路径 $𝐵, 𝐵'$ 都以同一点 $𝑥 0$ 为起点和终点，我们可以定义它们的“和”：先沿 $𝐵$ 走一圈回到 $𝑥 0$ ，再沿 $𝐵'$ 走一圈。通过观察可以发现

𝐵 𝑚 + 𝐵 𝑛 ≃ 𝐵 𝑚 + 𝑛 .

例如

𝐵 1 + 𝐵 - 1 ≃ 𝐵 0 .

因此，我们最开始似乎可以用整数来记录圆环绕 $𝐴$ 的情况，而闭路径的复合则类似于整数加法。这里已经出现了一个“群”的雏形。

不过，当圆环增加到三个的时候，我们发现这个规律出现了问题。

考虑三个圆环 $𝐴, 𝐵, 𝐶$ 构成的 Borromean rings。这三个圆环整体不能完全分离，但去掉其中任意一个圆环以后，剩下的两个圆环都是不链结的。特别地， $𝐴$ 与 $𝐵$ 本身并不链结。因此我们固定 $𝐴, 𝐵$ ，把 $𝐶$ 看成补空间

ℝ 3 - (𝐴 \cup 𝐵)

中的一个闭路径。

由于 $𝐴, 𝐵$ 本身不链结，我们可以把 $𝐴, 𝐵$ 拉开，同时拖动 $𝐶$ 。从 $𝐶$ 上选定的基点 $𝑥 0$ 出发，沿着 $𝐶$ 走一圈，我们会依次经过：

正向绕 𝐴, 正向绕 𝐵, 反向绕 𝐴, 反向绕 𝐵 .

若分别将正向绕 $𝐴, 𝐵$ 记作 $𝑎, 𝑏$ ，反向则记作 $- 𝑎, - 𝑏$ ，那么这条闭路径就可以表示为

𝑎 + 𝑏 + (- 𝑎) + (- 𝑏) .

也就是

𝑎 + 𝑏 - 𝑎 - 𝑏 .

如果我们仍然把这里的运算理解成普通的整数加法，由于加法满足交换律，就可以写成

𝑎 + 𝑏 - 𝑎 - 𝑏 = 𝑎 - 𝑎 + 𝑏 - 𝑏 = 0 .

按照此前的规律，这似乎意味着这条路径应该能够完全解开。然而 Borromean rings 的几何结构告诉我们， $𝐶$ 实际上不能在

ℝ 3 - (𝐴 \cup 𝐵)

中缩成一个平凡的闭路径。

这里真正出现的问题是：我们此前只记录了“绕了多少次”，却没有记录“按照什么顺序绕”。

例如可以比较

𝑎 + (- 𝑎) + 𝑏 + (- 𝑏)

和

𝑎 + 𝑏 + (- 𝑎) + (- 𝑏) .

对于第一种情况，正向绕 $𝐴$ 后马上反向绕 $𝐴$ ，这两部分可以直接抵消；随后 $𝐵$ 也同样抵消，所以这条路径自然可以缩掉。

但 Borromean rings 中出现的是第二种交错的顺序

𝑎 + 𝑏 - 𝑎 - 𝑏 .

这里 $𝑎$ 与 $- 𝑎$ 之间隔着 $𝑏$ ，而 $𝑏$ 与 $- 𝑏$ 之间又隔着 $- 𝑎$ 。如果我们允许交换顺序，它当然仍然等于 $0$ ；但拓扑上的路径并不一定允许我们把“先绕 $𝐴$ 再绕 $𝐵$ ”随意换成“先绕 $𝐵$ 再绕 $𝐴$ ”。

因此，我们不能预先假定

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 .

也就是说，普通的交换加法无法完整记录这些闭路径之间的关系。于是，一个自然的想法就是：我们需要构造一个非交换群（Nonabelian Group）来记录这些路径。

改用群论中通常使用的乘法记号，上面的路径可以写成

𝑎 𝑏 𝑎 - 1 𝑏 - 1 .

这里 $𝑎 - 1$ 和 $𝑏 - 1$ 分别表示反方向走 $𝑎$ 和 $𝑏$ 。表达式

𝑎 𝑏 𝑎 - 1 𝑏 - 1

称为 $𝑎, 𝑏$ 的 commutator（交换子）。

我们因此逐渐完善最初的想法：考虑空间中从基点 $𝑥 0$ 出发又回到 $𝑥 0$ 的闭路径，将能够连续变形到彼此的路径视为同一种，并用路径的首尾相接作为运算。这样的结构自然形成一个可能非交换的群。

这就是基本群 $𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)$ 的基本想法。

2 基本构造

我们此前使用的是在环上的看法，更一般的，我们可以视为两点之间的形变。

定义 2.1 (同伦).

空间 $𝑋$ 中的路径我们可以定义为 $𝑓 : 𝐼 \to 𝑋, 𝐼 = [0, 1]$ 。我们令连续形变且固定始末点的路径映射集合 $𝑓 𝑡 : 𝐼 \to 𝑋, 0 \leq 𝑡 \leq 1$ 满足：

1.

$𝑓 𝑡 (0) = 𝑥 0$ 和 $𝑓 𝑡 (1) = 𝑥 1$ 为与 $𝑡$ 无关的点；
2.

由 $𝑓 (𝑠, 𝑡) = 𝑓 𝑡 (𝑠)$ 定义关联映射 $𝐹 : 𝐼 \times 𝐼 \to 𝑋$ 是连续的。

我们就称 $𝑓 0$ 与 $𝑓 1$ 由同伦 $𝑓 𝑡$ 连接，称其为同伦的，记为 $𝑓 0 ≃ 𝑓 1$ 。

我们给出一个例子。

例 2.2 (线性同伦).

任意 $ℝ 𝑛$ 上的 $𝑓 0$ 和 $𝑓 1$ 有相同的端点 $𝑥 0$ 和 $𝑥 1$ ，我们定义同伦

𝑓 𝑡 (𝑠) = (1 - 𝑡) 𝑓 0 (𝑠) + 𝑡 𝑓 1 (𝑠)

这个同伦从 $𝑓 0 (𝑠)$ 到 $𝑓 1 (𝑠)$ 的运动是沿着线段匀速的。

这个结构不止对 $ℝ 𝑛$ 有效，对任何凸子空间 $𝑋 \subset ℝ 𝑛$ 也有效。

定义 2.3 (凸集).

如果一个集合 $𝑋 \subset ℝ 𝑛$ 满足：取任意两点 $𝑥, 𝑦 \in 𝑋$ 连接他们的线段仍然完全落在 $𝑋$ 里面，那么 $𝑋$ 是凸集。即

(1 + 𝑡) 𝑥 + 𝑡 𝑦 \in 𝑋 . 𝑥, 𝑦 \in 𝑋, 𝑡 \in [0, 1]

对于同伦，我们先了解以下性质。

命题 2.4.

固定端点上的路径同伦在任何空间中都是等价关系。

我们也记 $[𝑓]$ 为同伦类，同伦类是这个等价关系的等价类。

证明.

等价关系需要证明自反性，对称性，传递性。自反性令 $𝑓 = 𝑓 𝑡$ 易得 $𝑓 ≃ 𝑓$ 。对称性也相对较易，相对的，我们要证 $𝑓 1 ≃ 𝑓 0$ ， $𝑓 0 ≃ 𝑓 1$ ，只要令 $ˆ 𝑓 𝑡 = 𝑓 1 - 𝑡$ 就得到了一个相反的方向的同伦，对称性显然。对于传递性，即证明 $𝑓 0 ≃ 𝑓 1$ ， $𝑔 0 ≃ 𝑔 1$ 且 $𝑓 1 ≃ 𝑔 0$ 。我们可以定义一个新的

ℎ 𝑡 = {𝑓 2 𝑡, 𝑡 \in [0, 0.5] 𝑔 2 𝑡 - 1, 𝑡 \in [0.5, 1]

不妨再令 $𝐻 (𝑠, 𝑡) = 𝐹 (𝑠, 2 𝑡)$ 当 $𝑡 \in [0, 12]$ ，同时 $𝐻 (𝑠, 𝑡) = 𝐺 (𝑠, 2 𝑡 - 1)$ 当 $𝑡 \in [12, 1]$ ， $𝐻$ 分别在两个闭集

𝐼 \times [0, 12], 𝐼 \times [12, 1]

上连续且有在交集 $𝐼 \times {12}$ 上定义一致，由于粘合定理其整体连续。故同伦是等价关系。 ∎

另外，我们可以令其在 $𝑡$ 为某处时相等，倘若我们令其在 $𝑠 = 0, 1$ 时可以首尾相接，即 $𝑓 (1) = 𝑔 (0)$ ，我们有机会将两个同态链接在一起。类似的，我们可以定义

𝑓 \cdot 𝑔 (𝑠) = {𝑓 (2 𝑠), 0 \leq 𝑠 \leq 12, 𝑔 (2 𝑠 - 1), 12 \leq 𝑠 \leq 1 .

我们称这样的运算为复合或是乘积。这个运算保持同伦类——我们选取任意的 $𝑓 𝑡 \cdot 𝑔 𝑡$ 都可以用此运算拼接，因此在同伦上我们有 $[𝑓] \cdot [𝑔] = [𝑓 \cdot 𝑔]$ 。特别的，如果 $𝑓 (0) = 𝑓 (1) = 𝑥 0 \in 𝑋$ 我们就称其路径为环路（Loop）， $𝑥 0$ 称为基点（Basepoint）。

定义 2.5.

所有在点 $𝑥 0$ 处构成环路的同伦类集合 $𝑓 : 𝐼 \to 𝑋$ 定义为

𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)

当然，我们此前讨论了不少关于环路的浅显的例子，下面的命题我们将证明其为一个群。

命题 2.6.

在 $𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)$ 上定义乘法 $[𝑓] [𝑔] = [𝑓 𝑔]$ ，则 $𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)$ 关于这个乘法构成一个群。

我们或称该群为空间 $𝑋$ 在基点 $𝑥 0$ 上的基本群（Foundation Group）或第一同伦群（The First Homotopy Group），我们在未来自然会构建更高类的同伦群类似 $𝜋 𝑛 (𝑋, 𝑥 0)$ ，他们是用 $𝐼 𝑛$ 的方块代替一维线段 $𝐼$ 构建的。

证明.

在上面我们已经有了这个乘法是良定义的，我们只需要证明结合律，单位元，逆元。对此我们要引入一个工具来控制重参数化（Reparametrization）。重参数化这个工具让我们在维持同伦的情况下改变 $𝑓$ 的速度。我们令其对 $𝑓$ 复合得到 $𝑓 𝜑$ 且 $𝜑 𝑡 (𝑠) = (1 - 𝑡) 𝜑 (𝑠) + 𝑡 𝑠$ 使得 $𝜑 0 = 𝜑$ 且 $𝜑 1 (𝑠) = 𝑠$ 。

首先，我们证明结合律：我们有路径 $𝑓, 𝑔, ℎ$ 且 $𝑓 (1) = 𝑔 (0)$ ， $𝑔 (1) = ℎ (0)$ 。根据此前对复合的研究

𝑓 \cdot 𝑔 (𝑠) = {𝑓 (2 𝑠), 0 \leq 𝑠 \leq 12, 𝑔 (2 𝑠 - 1), 12 \leq 𝑠 \leq 1 .

我们要再对 $𝑓 \cdot 𝑔$ 进行一次复合

(𝑓 \cdot 𝑔) \cdot ℎ (𝑠) = ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑓 (4 𝑠), 0 \leq 𝑠 \leq 14 𝑔 (4 𝑠 - 2), 14 \leq 𝑠 \leq 34 ℎ (4 𝑠 - 3), 34 \leq 𝑠 \leq 1

这里实际已经运用了重参数化， $𝜑$ 便是 $𝑠$ 的变化，使得 $(𝑓 \cdot 𝑔) \cdot ℎ \circ 𝜑 ≃ (𝑓 \cdot 𝑔) \cdot ℎ$ 。显示来看便是

𝜑 (𝑠) = ⎧ { { { { {⎨ { { { { {⎩ 𝑠 2, 0 \leq 𝑠 \leq 12, 𝑠 - 14, 12 \leq 𝑠 \leq 34, 2 𝑠 - 1, 34 \leq 𝑠 \leq 1 .

我们来验证结合律， $𝑓 (𝑔 ℎ)$ ，我们类似的应用得到

𝑓 \cdot (𝑔 \cdot ℎ) = ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑓 (4 𝑠), 0 \leq 𝑠 < 14 𝑔 (4 𝑠 - 1), 14 \leq 𝑠 \leq 12 ℎ (4 𝑠 - 2), 12 \leq 𝑠 \leq 1

我们得到这两个是同伦的，故满足结合律。

我们证明其有单位 $𝟏$ ：我们需要寻找一个复合使得 $𝑐 \cdot 𝑓 = 𝑓$ 。我们沿用我们重参数化的方法。我们定义 $𝑐 (𝑠) = 𝑓 (1) = 𝑓 (0) = 𝑥 0$ ，由于 $𝑓$ 本身是一个 Loop 我们复合使得其在前半程按照 $𝑓$ 的方式走，后半程我们使其固定在 $𝑥 0$ 处。我们利用 $𝑐 (𝑠)$ 对 $𝑓$ 进行重参数化。我们可以显示的表达出来

(𝑓 \cdot 𝑐) (𝑠) = {𝑓 (2 𝑠), 𝑠 \in [0, 12] 𝑐 (2 𝑠 - 1), 𝑠 \in [12, 1]

其中我们可以将 $𝑐$ 用 $𝜑$ 表示为

𝜑 (𝑠) = {2 𝑠, 0 \leq 𝑠 \leq 12, 1, 12 \leq 𝑠 \leq 1 .

于是我们有 $𝑓 \cdot 𝑐 ≃ 𝑓$ 同时 $[𝑓] [𝑐] = [𝑓]$ 。

反方向同理，于是 $𝑐$ 就是我们的单位元。

最后我们来证明其具有逆元，这个其实非常简单，我们有 $𝑓 (1 - 𝑠)$ 它的路径为 $𝑓 (1) \to 𝑓 (0)$ ，我们定义 $¯ 𝑓$ 为这个倒着走的 Loop。我们需要验证 $[𝑓] [¯ 𝑓] = [𝑐]$ 。我们令整个过程分为两段并且定义为 $𝑓 𝑡$ 我们有

𝑓 𝑡 = {𝑓 (𝑠), 0 \leq 𝑠 \leq 1 - 𝑡 𝑓 (1 - 𝑡), 1 - 𝑡 \leq 𝑠 \leq 1

我们逐步将 $𝑡$ 增大最后直到一个常值映射。于是我们定义 $ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ―― 𝑓 𝑡$ 我们有

ℎ 0 = 𝑓 0 ―― 𝑓 0 = 𝑓 ¯ 𝑓, ℎ 1 = 𝑓 1 ―― 𝑓 1 = 𝑐

若 $𝑓 𝑡$ 随着 $𝑡$ 持续变化，我们显然存在 $𝑓 ¯ 𝑓 ≃ 𝑐$ 。逆元得证。 ∎

例 2.7 (线性同伦).

任意 $ℝ 𝑛$ 上的 $𝑓 0$ 和 $𝑓 1$ 有相同的端点 $𝑥 0$ 和 $𝑥 1$ ，我们定义同伦

𝑓 𝑡 (𝑠) = (1 - 𝑡) 𝑓 0 (𝑠) + 𝑡 𝑓 1 (𝑠) .

这个同伦中， $𝑓 0 (𝑠)$ 到 $𝑓 1 (𝑠)$ 的运动沿着连接二者的线段进行。更一般地，只要 $𝑋 \subseteq ℝ 𝑛$ 是凸集，这条线段始终位于 $𝑋$ 中，因此上述线性同伦仍然成立。特别地，对于任意以 $𝑥 0$ 为基点的 loop $𝑓$ ，令常值 loop $𝑐 (𝑠) = 𝑥 0$ ，将 $𝑓$ 与 $𝑐$ 代入线性同伦，可以得到 $𝑓 ≃ 𝑐$ 。因此所有以 $𝑥 0$ 为基点的 loop 都属于同一个同伦类：

𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0) = {[𝑐]} .

我们也记作

𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0) = 0,

其中 $0$ 表示平凡群。

这说明对于凸空间，任意 loop 都可以在保持基点不动的情况下连续收缩为常值 loop。直观上，基本群正是在区分这些 loop 的不同同伦类型：若所有 loop 都能缩为常值 loop，则基本群是平凡的；若存在无法缩为常值 loop 的 loop，则基本群可能包含非平凡元素。

例 2.8.

另一个例子则比较有趣，现在考虑基本群对基点选择的依赖。设 $𝑥 0, 𝑥 1 \in 𝑋$ 位于同一个道路连通分支中，并取一条从 $𝑥 0$ 到 $𝑥 1$ 的路径

ℎ : 𝐼 \to 𝑋, ℎ (0) = 𝑥 0, ℎ (1) = 𝑥 1

记其反向路径为 $¯ ℎ (𝑠) = ℎ (1 - 𝑠)$ ，因而 $¯ ℎ$ 从 $𝑥 1$ 回到 $𝑥 0$ 。现在设 $𝑓$ 是一个以 $𝑥 1$ 为基点的 loop：

𝑓 (1) = 𝑓 (0) = 𝑥 1

那么我们可以构造复合路径

ℎ 𝑓 ¯ ℎ

我们能否证明其 $ℎ 𝑓 ¯ ℎ ≃ 𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)$ ？

命题 2.9.

由路径 $ℎ$ 诱导出的映射 $B ℎ$ ，是从以 $𝑥 1$ 为基点的基本群到以 $𝑥 0$ 为基点的基本群的一个“群同构”。

证明.

此前我们在进行三个路径复合的时候复杂地使用的 $𝑠$ 这个工具，就此，我们不妨令 $𝑛$ 复合均占我们的 $[0, 1]$ 区间。 $B ℎ$ 就表示复合 $ℎ 𝑓 ¯ ℎ$ 的映射，对于 $𝑓 𝑔$ 我们有

B ℎ (𝑓 𝑔) = [ℎ \cdot 𝑓 𝑔 \cdot ¯ ℎ] = [ℎ \cdot 𝑓 \cdot ¯ ℎ \cdot ℎ \cdot 𝑔 \cdot ¯ ℎ] = B ℎ (𝑓) B ℎ (𝑔)

群同态证明完成，同构还需证明其可逆。接下来证明它可逆。考虑反向路径 $¯ ℎ$ ，定义

B ¯ ℎ : 𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0) \to 𝜋 1 (𝑋, 𝑥 1) .

对任意 $[𝑓] \in 𝜋 1 (𝑋, 𝑥 1)$ ，我们有 $B ¯ ℎ B ℎ ([𝑓]) = [¯ ℎ ℎ 𝑓 ¯ ℎ ℎ]$ 。又由于 $¯ ℎ ℎ ≃ 𝑐 𝑥 1$ ，因此 $[¯ ℎ ℎ 𝑓 ¯ ℎ ℎ] = [𝑓]$ 。同理，对于任意的 $𝑔 \in 𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)$ 我们有

B ℎ B ¯ ℎ ([𝑔]) = [ℎ ¯ ℎ 𝑔 ℎ ¯ ℎ] = [𝑔] .

于是我们有 $B ¯ ℎ = B - 1 ℎ$ ，从而

𝜋 1 (𝑋, 𝑥 1) ≅ 𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0) .

∎

我们称这个映射为换基点映射（Change-of-Basepoint Map），对于将原来定义在 $𝑥 1$ 处的同伦环 $𝑓 𝑡$ 经过复合变化 $ℎ 𝑓 ¯ ℎ$ 将基点变为 $𝑥 0$ 是良定义的。

在群同构的意义下，一旦 $𝑋$ 是道路连通的我们便不区分其基点 $𝑥 0$ 或是 $𝑥 1$ ，可以将 $𝜋 1 (𝑋, 𝑥 0)$ 这样的简记为 $𝜋 1 (𝑋)$ 或者 $𝜋 1 𝑋$ 。这样的空间我们称为单连通空间（Simple-connected）：道路连通且其基本群是平凡的。

命题 2.10.

空间 $𝑋$ 是单连通的当且仅当在 $𝑋$ 中取任意两个 $𝑎, 𝑏$ 连接 $𝑎$ 到 $𝑏$ 的路径属于唯一的同伦类。

证明.

先反过来，连接 $𝑎, 𝑏$ 的路径属于唯一的同伦类，我们已经假设 $𝑋$ 是道路连通的，我们只需要证明 $𝜋 1 𝑋 = {𝑒}$ 即它平凡。我们考虑 $𝑥 0$ 到 $𝑥 0$ 的路径，常值 $𝑐 (𝑠) = 𝑥 0$ 也在这个同伦类之中，于是我们有 $𝑓 ≃ 𝑐$ 从而得到其单连通。若 $𝑋$ 是单连通的，于是我们有 $𝜋 1 𝑋 = 0$ ，若 $𝑓, 𝑔$ 都为从 $𝑥 0$ 到 $𝑥 1$ 的路径我们显然有

𝑓 ≃ 𝑓 \cdot 𝑔 ≃ 𝑓 ¯ 𝑔 𝑔 ≃ 𝑔

其中我们需要解释的是 $𝑓 \cdot ¯ 𝑔$ 是一个 Loop，如果空间单连通，我们就有 $𝑓 \cdot ¯ 𝑔 ≃ 𝑐$ 从而证明 $𝑓, 𝑔$ 为一同伦类。 ∎