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预叠(prestack)

发布于 2026-07-12T12:20:33Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:53:41Z

预叠(prestack) 1 预叠的定义设 S 是一个概形并且 𝑝 : X → S 是概形间的函子。接下来，我们用小写字母来指代 X 中的元素，用大写字母指代 S 中的元素。例如下图我们称 𝛼 是 over 𝑆 的，称 𝛼 是 over 𝑓 的。 definition 函子 𝑝 : X → S 称为预叠，如果

预叠(prestack)

1 预叠的定义

设 $S$ 是一个概形并且 $𝑝 : X \to S$ 是概形间的函子。接下来，我们用小写字母来指代 $X$ 中的元素，用大写字母指代 $S$ 中的元素。

例如下图

我们称 $𝛼$ 是 over $𝑆$ 的，称 $𝛼$ 是 over $𝑓$ 的。

Definition 1.0.1.

函子 $𝑝 : X \to S$ 称为预叠，如果

(1) （存在拉回）对于任意图

都存在 $S$ 中 $𝛼$ over $𝑆$ 和态射 $𝑎 \to 𝑏$ over $𝑆 \to 𝑇$ , 使得下图交换

(2)（拉回的泛性质）对于任意交换图

那么存在唯一的态射 $𝑎 \to 𝑏$ 使得下图交换

Remark 1.0.1.

预叠定义里的 (1) 中的 $𝑎$ 和 $𝑎 \to 𝑏$ 一定是唯一的。因此我们可以用 $𝑓 * 𝑏$ 来指代 $𝑎$ .

Proof.

假设存在两个 $𝑎, 𝑎'$ 使得下图交换

根据 (2) 我们可以得到两个唯一的态射 $𝛽 : 𝑎 \to 𝑎', 𝛾 : 𝑎' \to 𝑎$ .

根据图

我们利用泛性质可以得到 $𝛽 \circ 𝛾 = i d 𝑎', 𝛾 \circ 𝛽 = i d 𝑎$ . 到此结束。 ∎

Definition 1.0.2.

如果 $X$ 是 $S$ 上的预叠。那么我们可以定义 fiber 范畴 $X (𝑆)$ over $S$ ，其中 $𝑆 \in S$ 为

(1) 对象是 $X$ over $𝑆$ , 即所有 $𝑎 \mapsto 𝑆$ .

(2) 从 $𝑎$ 到 $𝑏$ 的态射为

Definition 1.0.3.

若范畴 $C$ 中的所有态射都可逆，则称之为广群。

Lemma 1.0.1.

fiber 范畴 $X (𝑆)$ 是广群。

Proof.

因为我们肯定有交换图

再利用定义里 (2), 那么就有图交换

那么自然有 $𝛼 \circ 𝛽 = i d 𝑏$ , 到此即得。 ∎

2 预叠的态射

Definition 2.0.1.

(1) 预叠间的态射 $𝑓 : X \to Y$ 是一个范畴间的函子使得以下图严格交换

即 $\forall 𝑎 \in X$ , $𝑝 X (𝑎) = 𝑝 Y (𝑓 (𝑎))$ .

(2) 设 $𝑓, 𝑔 : X \to Y$ 是预叠之间的态射，一个 $2$ -同构 $𝛼 : 𝑓 \to 𝑔$ 是如下的自然变换使得 $\forall 𝑎 \in X, 𝛼 𝑎 : 𝑓 (𝑎) \to 𝑔 (𝑎)$ （这是一个同构）在 $Y$ 上是 over $i d 𝑆$ 的。即有下图

我们可以把这样一个 $2$ -同构记为下图

(3) 设 $X$ 和 $Y$ 是两个预叠，我们定义范畴 $M o r (X, Y)$ , 它的对象是从 $X$ 到 $Y$ 的态射。

$M o r (X, Y)$ 的态射是 $𝛼 : 𝑓 \to 𝑔$ 这样的 $2$ -同构。

(4) 一个 $2$ -交换图是下图

并且有一个 $2$ -同构 $𝛼 : 𝑔' \circ 𝑓 \to 𝑓' \circ 𝑔$ .

(5) 设 $𝑓 : X \to Y$ 是预叠间的态射。

如果 $𝑓$ 是全忠实的，那么称 $𝑓$ 是单态射。

如果 $𝑓$ 是本质满的，那么称 $𝑓$ 是满态射。

如果存在态射 $𝑔 : Y \to X$ 和 $2$ -同构 $𝑔 \circ 𝑓 \sim ⟶ i d X$ 和 $𝑓 \circ 𝑔 \sim ⟶ i d Y$ ，那么称 $𝑓$ 是同构。

Proposition 2.0.1.

$2$ -同构确实是函子的同构，所以 $M o r (X, Y)$ 是广群。

Proof.

因为我们有图

那我们就有了 $𝛼 𝑎 \circ 𝛽 𝑎 = i d 𝑔 (𝑎)$ .

注意到 $𝛼 𝑎 \circ 𝛽 𝑎 \circ 𝛼 𝑎 = i d 𝑔 (𝑎) \circ 𝛼 𝑎 = 𝛼 𝑎$ .

因为 $𝛼 𝑎 = 𝛼 𝑎 \circ i d 𝑓 (𝑎)$ .

所以有

𝛼 𝑎 \circ i d 𝑓 (𝑎) = 𝛼 𝑎 \circ (𝛽 𝑎 \circ 𝛼 𝑎)

再利用以下预叠定义(2) 里的泛性质，所以 $i d 𝑓 (𝑎) = 𝛽 𝑎 \circ 𝛼 𝑎$ .

所以 $𝛼$ 是函子同构。 ∎

Example 2.0.1.

设 $X$ 是 over $S$ 的预叠。设 $𝑆 \in S$ , 那么我们定义 localized category $S / 𝑆$ 为对象是 $𝑇 \to 𝑆$ in $S$ , 和态射都是 $𝑆$ -态射。

(a) 证明对于任意 $𝑎, 𝑏 \in X$ over $𝑆$ , 以下函子

𝐼 𝑠 𝑜 𝑚 ―――― X (𝑆) (𝑎, 𝑏) : S / 𝑆 \to 𝑆 𝑒 𝑡 𝑠 (𝑇 𝑓 \to 𝑆) \mapsto M o r X (𝑇) (𝑓 * 𝑎, 𝑓 * 𝑏)

是一个预层。（后面我们定义叠的时候，这个等价于条件 (1)).

3 预叠的一些例子

Example 3.0.1 (预层是预叠).

考虑 $𝐹 : S 𝑜 𝑝 \to S e t s$ 是一个逆变预层，我们可以构造以下的预叠 $X 𝐹 : X 𝐹 \to 𝑆$ , 这里的 $X 𝐹$ 是由对象 $(𝑎, 𝑆)$ 构成，其中 $𝑎 \in 𝐹 (𝑆), 𝑆 \in S$ . 从 $(𝑎, 𝑆)$ 到 $(𝑎', 𝑆')$ 的态射为 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 使得 $𝐹 (𝑓) (𝑎') = 𝑎$ . 我们也将 $𝐹 (𝑓)$ 记为 $𝑓 *$ .

问题：这个 $𝑓$ 是唯一的吗？应该不是。

我们定义 $X 𝐹 : (𝑎, 𝑆) \mapsto 𝑆$ . fiber 范畴 $X 𝐹 (𝑆)$ 等价于 $𝐹 (𝑆)$ . 所以我们有时会不区分 $X 𝐹 (𝑆)$ 和 $𝐹 (𝑆)$ .

Proof.

我们首先来验证 $X 𝐹 : X 𝐹 \to 𝑆$ 确实是一个预叠吧。

(1) 如果有以下图

因为 $𝐹 (𝑓) (𝑏) \in 𝐹 (𝑆)$ , 所以我们有以下交换图

(2) 根据 $X 𝐹$ 中的态射的定义，这个泛性质是显然的。

接下来我们来验证 $X 𝐹 (𝑆)$ 和 $𝐹 (𝑆)$ 等价。

首先我们来看看 $X 𝐹 (𝑆)$ 里到底有哪些东西

对象为所有的 $(𝑎, 𝑆) \mapsto 𝑆$ ，其实就是 $(𝑎, 𝑆)$ , $𝑎 \in 𝐹 (𝑆)$ .

态射根据定义只有 $i d 𝑆$ .

所以 $X 𝐹 (𝑆)$ 等价于 $𝐹 (𝑆)$ . ∎

Example 3.0.2 (概形是预叠).

设 $𝑋$ 是一个概形，因为 Yoneda lemma - Wikipedia 里的 Yoneda 嵌入，我们知道 $ℎ 𝑋 = H o m (-, 𝑋)$ 包含了 $𝑋$ 的所有信息。所以我们可以将 $𝑋$ 看作一个预层 $ℎ 𝑋$ .

那么根据例题 3.0.1， $ℎ 𝑋$ 是一个预叠，我们有时也会将其记为 $X 𝑋$ .

Example 3.0.3 (光滑曲线的预叠).

我们定义预叠 $M$ over Sch 为以下范畴：

(1) 对象是概形间光滑和 proper 态射 $C \to 𝑆$ , 并且几何纤维（参考：geometric fibre in nLab）都是连通曲线（曲线指的是一维簇）。

(2) 从 $(C \to 𝑆)$ 到 $(C' \to 𝑆')$ 的态射，我们定义为 $𝛼 : C \to C'$ 和 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 使得下图是一个纤维积

预叠 $M : (C \to 𝑆) \mapsto 𝑆$

我们定义 $M 𝑔$ 为 $M$ 的由几何纤维都是亏格为 $𝑔$ 的曲线的对象 $C \to 𝑆$ 构成的全子范畴。 $M 𝑔$ 也是预叠。

纤维范畴 $M 𝑔 (𝕜)$ 是 $𝕜$ 上光滑，连通和射影的亏格为 $𝑔$ 的曲线，并且满足 $H o m M 𝑔 (𝕜) (𝐶, 𝐶') = I s o m S c h / 𝕜 (𝐶, 𝐶')$ 构成的范畴，它是一个广群。

Proof.

我们来证明 $M$ 和 $M 𝑔$ 都是预叠。

如果我们有下图

我们可以考虑图

我们知道概形的纤维积是一定存在的，所以有以下纤维积

由于光滑性、真态射以及几何纤维的性质（连通性）在基底变换下是稳定的，所以 $C \to 𝑆$ 还是范畴里的一个对象。把以下纤维积带入原图，即得

再由纤维积的泛性质，显然能得到预叠要求的泛性质。所以 $M$ 是预叠。

因为亏格 $𝑔$ 在基变换下也是稳定的，所以 $M 𝑔$ 也是预叠。 ∎

Example 3.0.4 (凝聚层和向量丛的预叠).

设 $𝑋$ 是域 $𝕜$ 上的概形。我们定义预叠 $Q C o h ―――― (𝑋)$ over $S c h / 𝕜$ 为以下范畴

(1) 对象为 $(𝐸, 𝑆)$ 其中 $𝑆 \in S c h / 𝕜$ , $𝐸$ 是 $𝑋 𝑆$ 上的拟凝聚层。

(2) 从 $(𝐸, 𝑆)$ 到 $(𝐸', 𝑆')$ 的态射为 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 和同构 $𝑓 * 𝐸' \to 𝐸$ .

投影定义为 $(𝐸, 𝑆) \mapsto 𝑆$ .

$C o h ――― (𝑋)$ 是 $Q C o h ―――― (𝑋)$ 的全子范畴，由 $𝑋 𝑆$ 上的有限表示和拟凝聚层构成。类似的 $B u n ――― (𝑋)$ 是 $C o h ――― (𝑋)$ 的全子范畴，由 $𝑋 𝑆$ 上的向量丛构成。

$Q C o h ―――― (𝑋), C o h ――― (𝑋), B u n ――― (𝑋)$ 都是预叠。

Proof.

我们来验证 $Q c o h ―――― (𝑋)$ 是预叠。

(1) 如果我们有图

那么我们可以取 $(𝐸 = 𝑓 * 𝐸', 𝑆)$ 使得以下图交换

(2) 如果我们有以下图

那我们有 $𝐸'' ≅ ℎ * \circ 𝑓 * 𝐸'$ 和 $𝐸 ≅ 𝑓 * 𝐸'$ , 注意到 $𝐸'' ≅ ℎ * 𝐸$ , 所以我们显然有唯一态射 $(ℎ, i d ℎ * 𝐸)$ . 即泛性质成立

∎

Definition 3.0.1.

对于一个光滑仿射群概形 $𝐺 \to 𝑆$ （这里的仿射说的是态射是仿射的，即如果 $𝑉 = S p e c 𝐴 \subseteq 𝑆$ , 它的原像在 $𝐺$ 中也是一个仿射开子集）（即 $𝐺$ 是一个群概形，态射 $𝐺 \to 𝑆$ 是光滑和仿射的）, 一个主 $𝐺$ -丛 over an $𝑆$ -概形 $𝑇$ 是一个态射 $𝑃 \to 𝑇$ 和一个 $𝑃$ 的 $𝐺$ 群作用 $𝜎 : 𝐺 \times 𝑆 𝑃 \to 𝑃$ 使得 $𝑃 \to 𝑇$ 是一个 $𝐺$ -不变的 fppf 态射(忠实平坦且有限表示)并且

(𝜎, 𝑝 2) : 𝐺 \times 𝑆 𝑃 \to 𝑃 \times 𝑇 𝑃

是一个同构。

Definition 3.0.2 (分类叠).

光滑仿射群概形 $𝐺 \to 𝑆$ 的分类叠是 over $𝑆 𝑐 ℎ / 𝑆$ 的范畴，

对象：主 $𝐺$ -丛 $𝑃 \to 𝑇$ ， $𝑃, 𝑇$ 都是 over $𝑆$ 的概形。

态射：从 $(𝑃 \to 𝑇)$ 到 $(𝑃' \to 𝑇')$ 的态射是 $𝑃 \to 𝑃'$ 和 $𝑇 \to 𝑇'$ 使得下图交换且构成一个纤维积。

Definition 3.0.3 (商预叠).

设 $𝐺 \to 𝑆$ 是光滑仿射群概形作用在概形 $𝑈$ over $𝑆$ .

我们定义商预叠 $[𝑈 / 𝐺] 𝑝 𝑟 𝑒$ 为 over $𝑆 𝑐 ℎ / 𝑆$ 的范畴，

对象是 $(𝑇, 𝑢)$ ，其中 $𝑇$ 是 over $𝑆$ 的概形， $𝑢 \in H o m 𝑆 (𝑇, 𝑈)$ .

态射：从 $(𝑇, 𝑢)$ 到 $(𝑇', 𝑢')$ 的态射是 $𝑓 : 𝑇 \to 𝑇'$ 并且满足存在 $𝑔 \in 𝐺$ , $𝑓 * 𝑢' = 𝑔 \cdot 𝑢$ .

Definition 3.0.4.

商叠 $[𝑈 / 𝐺]$ 是一个 $S c h / 𝑆$ 上范畴，由以下资料构成：对象：图

其中 $𝑃$ 是 $𝑆$ 概形。

态射：

为 $𝐺$ -等变态射 $𝑃' \to 𝑃$ 和态射 $𝑇' \to 𝑇$ 使得如下图交换

并且左侧方形是一个纤维积。

Proposition 3.0.1.

如果 $𝐺 \to 𝑆$ 是一个光滑仿射群概形作用在 $𝑆$ -概形 $𝑈$ 上，那么 $[𝑈 / 𝐺]$ 是 $S c h é 𝑡$ 上的一个叠。特别的，分类叠 $𝐵 𝐺 = [𝑆 / 𝐺]$ 是 $S c h é 𝑡$ 上的叠。

Proof.

∎

Theorem 3.1.

如果 $𝐺 \to 𝑆$ 是一个光滑仿射群概形作用在在代数空间 $𝑈 \to 𝑆$ , 商叠 $[𝑈 / 𝐺]$ 是一个 $𝑆$ 上的代数叠使得 $𝑈 \to [𝑈 / 𝐺]$ 是一个主 $𝐺$ -丛并且特别的， $𝑈 \to [𝑈 / 𝐺]$ 是一个满射，光滑和仿射的。特别的，分类叠 $𝐵 𝐺 = [𝑆 / 𝐺]$ 是代数叠。

预叠(prestack)

1 预叠的定义

Definition 1.0.1.

Remark 1.0.1.

Proof.

Definition 1.0.2.

Definition 1.0.3.

Lemma 1.0.1.

Proof.

2 预叠的态射

Definition 2.0.1.

Proposition 2.0.1.

Proof.

Example 2.0.1.

3 预叠的一些例子

Example 3.0.1 (预层是预叠).

Proof.

Example 3.0.2 (概形是预叠).

Example 3.0.3 (光滑曲线的预叠).

Proof.

Example 3.0.4 (凝聚层和向量丛的预叠).

Proof.

Definition 3.0.1.

Definition 3.0.2 (分类叠).

Definition 3.0.3 (商预叠).

Definition 3.0.4.

Proposition 3.0.1.

Proof.

Theorem 3.1.

References