文章

预叠(prestack)

发布于 2026-07-12T12:20:33Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:53:41Z

预叠(prestack) 1 预叠的定义设 S 是一个概形并且 𝑝 : X → S 是概形间的函子。接下来，我们用小写字母来指代 X 中的元素，用大写字母指代 S 中的元素。例如下图我们称 𝛼 是 over 𝑆 的，称 𝛼 是 over 𝑓 的。 definition 函子 𝑝 : X → S 称为预叠，如果

预叠(prestack)

1 预叠的定义

设 $S$ 是一个概形并且 $𝑝 : X \to S$ 是概形间的函子。接下来，我们用小写字母来指代 $X$ 中的元素，用大写字母指代 $S$ 中的元素。

例如下图

我们称 $𝛼$ 是 over $𝑆$ 的，称 $𝛼$ 是 over $𝑓$ 的。

{definition}

函子 $𝑝 : X \to S$ 称为预叠，如果

(1) （存在拉回）对于任意图

都存在 $S$ 中 $𝛼$ over $𝑆$ 和态射 $𝑎 \to 𝑏$ over $𝑆 \to 𝑇$ , 使得下图交换

(2)（拉回的泛性质）对于任意交换图

那么存在唯一的态射 $𝑎 \to 𝑏$ 使得下图交换

{remark}

预叠定义里的 (1) 中的 $𝑎$ 和 $𝑎 \to 𝑏$ 一定是唯一的。因此我们可以用 $𝑓 * 𝑏$ 来指代 $𝑎$ .

Proof.

假设存在两个 $𝑎, 𝑎'$ 使得下图交换

根据 (2) 我们可以得到两个唯一的态射 $𝛽 : 𝑎 \to 𝑎', 𝛾 : 𝑎' \to 𝑎$ .

根据图

我们利用泛性质可以得到 $𝛽 \circ 𝛾 = i d 𝑎', 𝛾 \circ 𝛽 = i d 𝑎$ . 到此结束。 ∎

{definition}

如果 $X$ 是 $S$ 上的预叠。那么我们可以定义 fiber 范畴 $X (𝑆)$ over $S$ ，其中 $𝑆 \in S$ 为

(1) 对象是 $X$ over $𝑆$ , 即所有 $𝑎 \mapsto 𝑆$ .

(2) 从 $𝑎$ 到 $𝑏$ 的态射为

{definition}

若范畴 $C$ 中的所有态射都可逆，则称之为广群。

{lemma}

fiber 范畴 $X (𝑆)$ 是广群。

Proof.

因为我们肯定有交换图

再利用定义里 (2), 那么就有图交换

那么自然有 $𝛼 \circ 𝛽 = i d 𝑏$ , 到此即得。 ∎

2 预叠的态射

{definition}

(1) 预叠间的态射 $𝑓 : X \to Y$ 是一个范畴间的函子使得以下图严格交换

即 $\forall 𝑎 \in X$ , $𝑝 X (𝑎) = 𝑝 Y (𝑓 (𝑎))$ .

(2) 设 $𝑓, 𝑔 : X \to Y$ 是预叠之间的态射，一个 $2$ -同构 $𝛼 : 𝑓 \to 𝑔$ 是如下的自然变换使得 $\forall 𝑎 \in X, 𝛼 𝑎 : 𝑓 (𝑎) \to 𝑔 (𝑎)$ （这是一个同构）在 $Y$ 上是 over $i d 𝑆$ 的。即有下图

我们可以把这样一个 $2$ -同构记为下图

(3) 设 $X$ 和 $Y$ 是两个预叠，我们定义范畴 $M o r (X, Y)$ , 它的对象是从 $X$ 到 $Y$ 的态射。

$M o r (X, Y)$ 的态射是 $𝛼 : 𝑓 \to 𝑔$ 这样的 $2$ -同构。

(4) 一个 $2$ -交换图是下图

并且有一个 $2$ -同构 $𝛼 : 𝑔' \circ 𝑓 \to 𝑓' \circ 𝑔$ .

(5) 设 $𝑓 : X \to Y$ 是预叠间的态射。

如果 $𝑓$ 是全忠实的，那么称 $𝑓$ 是单态射。

如果 $𝑓$ 是本质满的，那么称 $𝑓$ 是满态射。

如果存在态射 $𝑔 : Y \to X$ 和 $2$ -同构 $𝑔 \circ 𝑓 \sim ⟶ i d X$ 和 $𝑓 \circ 𝑔 \sim ⟶ i d Y$ ，那么称 $𝑓$ 是同构。

{proposition}

$2$ -同构确实是函子的同构，所以 $M o r (X, Y)$ 是广群。

Proof.

因为我们有图

那我们就有了 $𝛼 𝑎 \circ 𝛽 𝑎 = i d 𝑔 (𝑎)$ .

注意到 $𝛼 𝑎 \circ 𝛽 𝑎 \circ 𝛼 𝑎 = i d 𝑔 (𝑎) \circ 𝛼 𝑎 = 𝛼 𝑎$ .

因为 $𝛼 𝑎 = 𝛼 𝑎 \circ i d 𝑓 (𝑎)$ .

所以有

𝛼 𝑎 \circ i d 𝑓 (𝑎) = 𝛼 𝑎 \circ (𝛽 𝑎 \circ 𝛼 𝑎)

再利用以下预叠定义(2) 里的泛性质，所以 $i d 𝑓 (𝑎) = 𝛽 𝑎 \circ 𝛼 𝑎$ .

所以 $𝛼$ 是函子同构。 ∎

{example}

设 $X$ 是 over $S$ 的预叠。设 $𝑆 \in S$ , 那么我们定义 localized category $S / 𝑆$ 为对象是 $𝑇 \to 𝑆$ in $S$ , 和态射都是 $𝑆$ -态射。

(a) 证明对于任意 $𝑎, 𝑏 \in X$ over $𝑆$ , 以下函子

𝐼 𝑠 𝑜 𝑚 ―――― X (𝑆) (𝑎, 𝑏) : S / 𝑆 \to 𝑆 𝑒 𝑡 𝑠 (𝑇 𝑓 \to 𝑆) \mapsto M o r X (𝑇) (𝑓 * 𝑎, 𝑓 * 𝑏)

是一个预层。（后面我们定义叠的时候，这个等价于条件 (1)).

3 预叠的一些例子

{example}

[预层是预叠] 考虑 $𝐹 : S 𝑜 𝑝 \to S e t s$ 是一个逆变预层，我们可以构造以下的预叠 $X 𝐹 : X 𝐹 \to 𝑆$ , 这里的 $X 𝐹$ 是由对象 $(𝑎, 𝑆)$ 构成，其中 $𝑎 \in 𝐹 (𝑆), 𝑆 \in S$ . 从 $(𝑎, 𝑆)$ 到 $(𝑎', 𝑆')$ 的态射为 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 使得 $𝐹 (𝑓) (𝑎') = 𝑎$ . 我们也将 $𝐹 (𝑓)$ 记为 $𝑓 *$ .

问题：这个 $𝑓$ 是唯一的吗？应该不是。

我们定义 $X 𝐹 : (𝑎, 𝑆) \mapsto 𝑆$ . fiber 范畴 $X 𝐹 (𝑆)$ 等价于 $𝐹 (𝑆)$ . 所以我们有时会不区分 $X 𝐹 (𝑆)$ 和 $𝐹 (𝑆)$ .

Proof.

我们首先来验证 $X 𝐹 : X 𝐹 \to 𝑆$ 确实是一个预叠吧。

(1) 如果有以下图

因为 $𝐹 (𝑓) (𝑏) \in 𝐹 (𝑆)$ , 所以我们有以下交换图

(2) 根据 $X 𝐹$ 中的态射的定义，这个泛性质是显然的。

接下来我们来验证 $X 𝐹 (𝑆)$ 和 $𝐹 (𝑆)$ 等价。

首先我们来看看 $X 𝐹 (𝑆)$ 里到底有哪些东西

对象为所有的 $(𝑎, 𝑆) \mapsto 𝑆$ ，其实就是 $(𝑎, 𝑆)$ , $𝑎 \in 𝐹 (𝑆)$ .

态射根据定义只有 $i d 𝑆$ .

所以 $X 𝐹 (𝑆)$ 等价于 $𝐹 (𝑆)$ . ∎

{example}

[概形是预叠] 设 $𝑋$ 是一个概形，因为 Yoneda lemma - Wikipedia 里的 Yoneda 嵌入，我们知道 $ℎ 𝑋 = H o m (-, 𝑋)$ 包含了 $𝑋$ 的所有信息。所以我们可以将 $𝑋$ 看作一个预层 $ℎ 𝑋$ .

那么根据例题 3， $ℎ 𝑋$ 是一个预叠，我们有时也会将其记为 $X 𝑋$ .

{example}

[光滑曲线的预叠] 我们定义预叠 $M$ over Sch 为以下范畴：

(1) 对象是概形间光滑和 proper 态射 $C \to 𝑆$ , 并且几何纤维（参考：geometric fibre in nLab）都是连通曲线（曲线指的是一维簇）。

(2) 从 $(C \to 𝑆)$ 到 $(C' \to 𝑆')$ 的态射，我们定义为 $𝛼 : C \to C'$ 和 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 使得下图是一个纤维积

预叠 $M : (C \to 𝑆) \mapsto 𝑆$

我们定义 $M 𝑔$ 为 $M$ 的由几何纤维都是亏格为 $𝑔$ 的曲线的对象 $C \to 𝑆$ 构成的全子范畴。 $M 𝑔$ 也是预叠。

纤维范畴 $M 𝑔 (𝕜)$ 是 $𝕜$ 上光滑，连通和射影的亏格为 $𝑔$ 的曲线，并且满足 $H o m M 𝑔 (𝕜) (𝐶, 𝐶') = I s o m S c h / 𝕜 (𝐶, 𝐶')$ 构成的范畴，它是一个广群。

Proof.

我们来证明 $M$ 和 $M 𝑔$ 都是预叠。

如果我们有下图

我们可以考虑图

我们知道概形的纤维积是一定存在的，所以有以下纤维积

由于光滑性、真态射以及几何纤维的性质（连通性）在基底变换下是稳定的，所以 $C \to 𝑆$ 还是范畴里的一个对象。把以下纤维积带入原图，即得

再由纤维积的泛性质，显然能得到预叠要求的泛性质。所以 $M$ 是预叠。

因为亏格 $𝑔$ 在基变换下也是稳定的，所以 $M 𝑔$ 也是预叠。 ∎

{example}

[凝聚层和向量丛的预叠] 设 $𝑋$ 是域 $𝕜$ 上的概形。我们定义预叠 $Q C o h ―――― (𝑋)$ over $S c h / 𝕜$ 为以下范畴

(1) 对象为 $(𝐸, 𝑆)$ 其中 $𝑆 \in S c h / 𝕜$ , $𝐸$ 是 $𝑋 𝑆$ 上的拟凝聚层。

(2) 从 $(𝐸, 𝑆)$ 到 $(𝐸', 𝑆')$ 的态射为 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 和同构 $𝑓 * 𝐸' \to 𝐸$ .

投影定义为 $(𝐸, 𝑆) \mapsto 𝑆$ .

$C o h ――― (𝑋)$ 是 $Q C o h ―――― (𝑋)$ 的全子范畴，由 $𝑋 𝑆$ 上的有限表示和拟凝聚层构成。类似的 $B u n ――― (𝑋)$ 是 $C o h ――― (𝑋)$ 的全子范畴，由 $𝑋 𝑆$ 上的向量丛构成。

$Q C o h ―――― (𝑋), C o h ――― (𝑋), B u n ――― (𝑋)$ 都是预叠。

Proof.

我们来验证 $Q c o h ―――― (𝑋)$ 是预叠。

(1) 如果我们有图

那么我们可以取 $(𝐸 = 𝑓 * 𝐸', 𝑆)$ 使得以下图交换

(2) 如果我们有以下图

那我们有 $𝐸'' ≅ ℎ * \circ 𝑓 * 𝐸'$ 和 $𝐸 ≅ 𝑓 * 𝐸'$ , 注意到 $𝐸'' ≅ ℎ * 𝐸$ , 所以我们显然有唯一态射 $(ℎ, i d ℎ * 𝐸)$ . 即泛性质成立

∎

{definition}

对于一个光滑仿射群概形 $𝐺 \to 𝑆$ （这里的仿射说的是态射是仿射的，即如果 $𝑉 = S p e c 𝐴 \subseteq 𝑆$ , 它的原像在 $𝐺$ 中也是一个仿射开子集）（即 $𝐺$ 是一个群概形，态射 $𝐺 \to 𝑆$ 是光滑和仿射的）, 一个主 $𝐺$ -丛 over an $𝑆$ -概形 $𝑇$ 是一个态射 $𝑃 \to 𝑇$ 和一个 $𝑃$ 的 $𝐺$ 群作用 $𝜎 : 𝐺 \times 𝑆 𝑃 \to 𝑃$ 使得 $𝑃 \to 𝑇$ 是一个 $𝐺$ -不变的 fppf 态射(忠实平坦且有限表示)并且

(𝜎, 𝑝 2) : 𝐺 \times 𝑆 𝑃 \to 𝑃 \times 𝑇 𝑃

是一个同构。

{definition}

[分类叠] 光滑仿射群概形 $𝐺 \to 𝑆$ 的分类叠是 over $𝑆 𝑐 ℎ / 𝑆$ 的范畴，

对象：主 $𝐺$ -丛 $𝑃 \to 𝑇$ ， $𝑃, 𝑇$ 都是 over $𝑆$ 的概形。

态射：从 $(𝑃 \to 𝑇)$ 到 $(𝑃' \to 𝑇')$ 的态射是 $𝑃 \to 𝑃'$ 和 $𝑇 \to 𝑇'$ 使得下图交换且构成一个纤维积。

{definition}

[商预叠] 设 $𝐺 \to 𝑆$ 是光滑仿射群概形作用在概形 $𝑈$ over $𝑆$ .

我们定义商预叠 $[𝑈 / 𝐺] 𝑝 𝑟 𝑒$ 为 over $𝑆 𝑐 ℎ / 𝑆$ 的范畴，

对象是 $(𝑇, 𝑢)$ ，其中 $𝑇$ 是 over $𝑆$ 的概形， $𝑢 \in H o m 𝑆 (𝑇, 𝑈)$ .

态射：从 $(𝑇, 𝑢)$ 到 $(𝑇', 𝑢')$ 的态射是 $𝑓 : 𝑇 \to 𝑇'$ 并且满足存在 $𝑔 \in 𝐺$ , $𝑓 * 𝑢' = 𝑔 \cdot 𝑢$ .

{definition}

商叠 $[𝑈 / 𝐺]$ 是一个 $S c h / 𝑆$ 上范畴，由以下资料构成：对象：图

其中 $𝑃$ 是 $𝑆$ 概形。

态射：

为 $𝐺$ -等变态射 $𝑃' \to 𝑃$ 和态射 $𝑇' \to 𝑇$ 使得如下图交换

并且左侧方形是一个纤维积。

{proposition}

如果 $𝐺 \to 𝑆$ 是一个光滑仿射群概形作用在 $𝑆$ -概形 $𝑈$ 上，那么 $[𝑈 / 𝐺]$ 是 $S c h é 𝑡$ 上的一个叠。特别的，分类叠 $𝐵 𝐺 = [𝑆 / 𝐺]$ 是 $S c h é 𝑡$ 上的叠。

Proof.

∎

{theorem}

如果 $𝐺 \to 𝑆$ 是一个光滑仿射群概形作用在在代数空间 $𝑈 \to 𝑆$ , 商叠 $[𝑈 / 𝐺]$ 是一个 $𝑆$ 上的代数叠使得 $𝑈 \to [𝑈 / 𝐺]$ 是一个主 $𝐺$ -丛并且特别的， $𝑈 \to [𝑈 / 𝐺]$ 是一个满射，光滑和仿射的。特别的，分类叠 $𝐵 𝐺 = [𝑆 / 𝐺]$ 是代数叠。

预叠(prestack)

1 预叠的定义

Proof.

Proof.

2 预叠的态射

Proof.

3 预叠的一些例子

Proof.

Proof.

Proof.

Proof.

References