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叠(Stack)

发布于 2026-07-12T05:24:24Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:53:06Z

将一些 stack 的相关内容。

将一些 stack 的相关内容。

我们有以下包含关系：

概形 \subseteq 代数空间 \subseteq 层 \subseteq 叠

概形 \subseteq 代数空间 \subseteq D M 叠 \subseteq A r t i n 叠（代数叠） \subseteq 叠

层 \cap D M 叠 = 代数空间

层 \cap 代数叠 = 代数空间

{definition}

设 $X$ 是景 $S$ 上的预叠。我们称 $X$ 为叠，如果对任意对象 $𝑆 \in S$ ,对任意覆盖 ${𝑆 𝑖 \to 𝑆}$ 以下成立

1.

对于 $𝑆$ 上的两个对象 $𝑎, 𝑏$ 和态射 $𝜙 𝑖 : 𝑎 | 𝑆 𝑖 \to 𝑏$ 如果满足 $𝜙 𝑖 | 𝑆 𝑖 𝑗 = 𝜙 𝑗 | 𝑆 𝑖 𝑗$ , 那么存在唯一 $i d 𝑆$ 上的态射 $𝜙 : 𝑎 \to 𝑏$ 使得 $𝜙 | 𝑆 𝑖 = 𝜙 𝑖$ . 即下图
2.

对于任意 $𝑆 𝑖$ 上的对象 $𝑎 𝑖$ 和同构 $𝛼 𝑖 𝑗 : 𝑎 𝑖 | 𝑆 𝑖 𝑗 \to 𝑎 𝑗 | 𝑆 𝑖 𝑗$ 满足 cocycle 条件
$𝛼 𝑗 𝑘 | 𝑆 𝑖 𝑗 𝑘 \circ 𝛼 𝑖 𝑗 | 𝑆 𝑖 𝑗 𝑘 = 𝛼 𝑖 𝑘 | 𝑆 𝑖 𝑗 𝑘$
那么存在一个 $𝑆$ 上的对象 $𝑎$ 和 $i d 𝑆 𝑖$ 上的同构 $𝜙 𝑖 : 𝑎 | 𝑆 𝑖 \to 𝑎 𝑖$ 使得在 $𝑆 𝑖 𝑗$ 上满足 $𝜙 𝑖 | 𝑆 𝑖 𝑗 = 𝜙 𝑗 | 𝑆 𝑖 𝑗 \circ 𝛼 𝑖 𝑗$ .

{definition}

[预叠间可被概形表示的态射] Sch 上预叠间的态射 $X \to Y$ 称为可被概形表示，如果对任意态射 $𝑇 \to Y$ , 其中 $𝑇$ 是一个概形，满足纤维积 $X \times Y 𝑇$ 是一个概形。

{definition}

我们称可被概形表示的态射 $X \to Y$ 具有性质 $P$ , 如果 $X \times Y 𝑇 \to 𝑇$ 具有性质 $P$ .

{definition}

[代数空间] 一个 $S c h é 𝑡$ 上的层称为代数空间(algebraic spac)，如果存在一个概形 $𝑈$ 和一个满射 étale 的可被概形表示的态射 $𝑈 \to 𝑋$ . 这里的这个 $𝑈 \to 𝑋$ 称为 étale 表示。

{definition}

[预叠间的可表示态射] Sch 上预叠间的态射 $X \to Y$ 称为可表示的，如果对于任意态射 $𝑇 \to Y$ , 其中 $𝑇$ 是一个概形， $X \times Y 𝑇$ 是一个代数空间。

{definition}

我们称一个可表态射 $X \to Y$ 具有性质 $P$ , 如果 $𝑈 \to X \times Y 𝑇 \to 𝑇$ 具有性质 $P$ .

{definition}

[代数叠] 一个 $S c h é 𝑡$ 上的叠 $X$ 称为代数叠，如果存在一个概形 $𝑈$ 和一个满射，光滑, 和可表示的态射 $𝑈 \to X$ . 此时 $𝑈 \to X$ 称为光滑表示。

{definition}

[Deligne-Mumford 叠] 一个 $S c h é 𝑡$ 上的叠 $X$ 称为 Deligne-Mumford 叠，如果存在一个概形 $𝑈$ 和一个满射，étale, 和可表示的态射 $𝑈 \to X$ . 此时 $𝑈 \to X$ 称为 étale 表示。

{remark}

因为 étale 一定光滑，所以 DM 叠都是代数叠。

{definition}

设 $X$ 是 $S c h é 𝑡$ 上的叠。我们称 $T \subseteq X$ 是 $X$ 的开子叠，如果含入态射 $T \to X$ 是被概形表示的态射且是一个开浸入。

References