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$\\mathcal M_g$ 和 $M_g$ 的相关资料

作者：Lunifans

发布于 2026-07-11T15:23:04Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:53:01Z

M 𝑔 和 𝑀 𝑔 的相关资料 Riemann’s moduli problem: 𝑀 𝑔 是否可以看成一个复解析空间？

$M 𝑔$ 和 $𝑀 𝑔$ 的相关资料

Riemann’s moduli problem: $𝑀 𝑔$ 是否可以看成一个复解析空间？

{definition}

$𝑀 𝑔$ 是亏格为 $𝑔$ 的光滑射影曲线构成的模空间，或者亏格为 $𝑔$ 的紧致黎曼曲面的模空间。

{lemma}

$𝑀 𝑔$ 是一个不可约拟射影簇。

{example}

任意亏格为 $2$ 的光滑曲线 $𝐶$ 都是超椭圆曲线。

{example}

[光滑曲线的预叠] 我们定义预叠 $M$ over Sch 为以下范畴：

(1) 对象是概形间光滑和 proper 态射 $C \to 𝑆$ , 并且几何纤维（参考：geometric fibre in nLab）都是连通曲线（曲线指的是一维簇）。

(2) 从 $(C \to 𝑆)$ 到 $(C' \to 𝑆')$ 的态射，我们定义为 $𝛼 : C \to C'$ 和 $𝑓 : 𝑆 \to 𝑆'$ 使得下图是一个纤维积

预叠 $M : (C \to 𝑆) \mapsto 𝑆$

我们定义 $M 𝑔$ 为 $M$ 的由几何纤维都是亏格为 $𝑔$ 的光滑曲线的对象 $C \to 𝑆$ 构成的全子范畴。 $M 𝑔$ 也是预叠。

纤维范畴 $M 𝑔 (𝕜)$ 是 $𝕜$ 上光滑，连通和射影的亏格为 $𝑔$ 的曲线，并且满足 $H o m M 𝑔 (𝕜) (𝐶, 𝐶') = I s o m S c h / 𝕜 (𝐶, 𝐶')$ 构成的范畴，它是一个广群。

我们来证明 $M$ 和 $M 𝑔$ 都是预叠。

如果我们有下图

我们可以考虑图

我们知道概形的纤维积是一定存在的，所以有以下纤维积

由于光滑性、真态射以及几何纤维的性质（连通性）在基底变换下是稳定的，所以 $C \to 𝑆$ 还是范畴里的一个对象。把以下纤维积带入原图，即得

再由纤维积的泛性质，显然能得到预叠要求的泛性质。所以 $M$ 是预叠。

因为亏格 $𝑔$ 在基变换下也是稳定的，所以 $M 𝑔$ 也是预叠。 ∎

$M 1$ 只是预叠，而不是叠。

{proposition}

如果 $𝑔 \geq 2$ , 那么 $M 𝑔$ 是一个 $S c h é 𝑡$ 上的叠。

{theorem}

如果 $𝑔 \geq 2$ , 那么 $M 𝑔$ 是一个 $S p e c ℤ$ 上的叠。

{definition}

如果 $𝑔 \geq 2$ , 那么 $M 𝑔$ 是一个 DM 叠。