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模空间和几何不变理论

发布于 2026-07-10T12:18:39Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:52:37Z

Many moduli spaces are constructed as quotients of group actions; this paper surveys the classical theory, as well as recent progress and applications. We revie

模空间和几何不变理论

Abstract

Many moduli spaces are constructed as quotients of group actions; this paper surveys the classical theory, as well as recent progress and applications. We review geometric invariant theory for reductive groups and how it is used to construct moduli spaces, and explain two new developments extending this theory to non-reductive groups and to stacks, which enable the construction of new moduli spaces.

模空间和几何不变理论

主要参考 Victoria Hoskins 的 GIT 综述。

1 Moduli problem and group actions

Definition 1.1.

一个 $𝑘$ 上的代数群是 $𝑘$ -概形范畴里的群对象[tags/97]。我们称 $𝐺$ 是一个仿射代数群，如果代数群 $𝐺$ 是一个仿射概形。

Definition 1.2.

一个概形 $𝑋$ 上的关于仿射代数群 $𝐺$ 的代数作用为态射 $𝜎 : 𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$ 使得如下图交换：

子概形 $𝑍 \subseteq 𝑋$ 称为 $𝐺$ -不变子概形，如果 $𝜎 (𝐺 \times 𝑍) \subseteq 𝑍$ .

设 $𝑋$ 上的群作用为 $𝜎 𝑋 : 𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$ ， $𝑌$ 上的群作用为 $𝜎 𝑌 : 𝐺 \times 𝑌 \to 𝑌$ ，我们称 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ 是 $𝐺$ -等变的( $𝐺$ -equivariant), 如果以下图交换：

即 $𝑓 (𝜎 𝑋 (𝑔, 𝑥)) = 𝜎 𝑌 (𝑔, 𝑓 (𝑥))$ , 简写就是 $𝑓 (𝑔 \cdot 𝑥) = 𝑔 \cdot 𝑓 (𝑥)$ .

如果 $𝑌$ 上群作用为 $𝜎 𝑌 = 𝜋 𝑌 : 𝐺 \times 𝑌 \to 𝑌, (𝑔, 𝑦) \mapsto 𝑦$ , 此时的 $𝐺$ -等变 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ 我们称为 $𝐺$ -不变态射。即 $𝑓 (𝜎 𝑋 (𝑔, 𝑥)) = 𝑓 (𝑥)$ , 简写就是 $𝑓 (𝑔 \cdot 𝑥) = 𝑓 (𝑥)$ .

Definition 1.3.

对于仿射代数群 $𝐺$ 在概形 $𝑋$ 上的一个作用 $𝜎 : 𝐺 \times 𝑋 \to 𝑋$ 和一个 k-点 $𝑥 \in 𝑋$ , 我们定义

[(1)]
1.

$𝑥$ 处的轨道 $𝐺 \cdot 𝑥$ 定义为 $𝜎 𝑥 = 𝜎 (-, 𝑥) : 𝐺 (𝑘) \to 𝑋 (𝑘), 𝑔 \mapsto 𝑔 \cdot 𝑥$ 的像。
2.

$𝑥$ 处的稳定化子 $𝐺 𝑥$ 是如下纤维积

$𝑥$ 的稳定化子 $𝐺 𝑥$ 是 $𝐺$ 的闭子概形并且 $𝐺 𝑥$ 还是 $𝐺$ 的子群。

Definition 1.4.

对于概形 $𝑋$ 上的仿射代数群 $𝐺$ 作用，一个范畴商就是一个概形间态射 $𝐺$ -不变态射 $𝜑 : 𝑋 \to 𝑌$ , 满足如下泛性质，即对任意 $𝐺$ -不变态射 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑍$ 存在唯一态射 $ℎ : 𝑌 \to 𝑍$ 使得下图交换

如果对于 $𝑌$ 里面的任意 $𝑘$ -点都有其原像是单个轨道，则称 $𝜑$ 为轨道空间(orbit space).

Remark 1.1.

范畴商如果存在则在同构的意义下是唯一的。因为范畴商的定义里面说了 $𝜑$ 是 $𝐺$ -不变的，所以有 $𝜑 (𝑔 \cdot 𝑥) = 𝜑 (𝑥)$ . 那么显然 $𝜑$ 在一个轨道上是一个常值。又因为 $𝜑 (―――― 𝐺 \cdot 𝑥) \subseteq ――――― 𝜑 (𝐺 \cdot 𝑥) = 𝜑 (𝑥)$ , 所以 $𝜑$ 在一个轨道闭包上也是常值。

Example 1.1.

1.

让 $𝐺 𝑚$ 作用在 $𝔸 𝑛$ 上面， $𝑡 (𝑥 1, \dots, 𝑥 𝑛) = (𝑡 𝑥 1, \dots, 𝑡 𝑥 𝑛)$ . 所有 $𝐺$ -不变态射都是一个常值态射 $𝔸 𝑛 \to S p e c 𝑘$ , 因为轨道的闭包相交。这个作用的范畴商为 $𝜋 : 𝔸 𝑛 \to S p e c 𝑘$ .
2.
让 $𝐺 𝑚$ 作用在 $𝔸 2$ 上面， $𝑡 (𝑥, 𝑦) = (𝑡 𝑥, 𝑡 - 1 𝑦)$ . 轨道有四个类型
1. [(a)]
2. (a)
  
  ${(𝑥, 𝑦) : 𝑥 𝑦 = 𝛼, 𝛼 \neq 0}$
3. (b)
  
  没有原点的 $𝑥$ 轴
4. (c)
  
  没有原点的 $𝑦$ 轴
5. (d)
  
  原点 $(0, 0)$

这个的范畴商是 $𝔸 2 \to 𝔸, (𝑥, 𝑦) \mapsto 𝑥 𝑦$ .

Definition 1.5.

我们称态射 $𝜑 : 𝑋 \to 𝑌$ 为关于 $𝑋$ 上的群作用 $𝐺$ 的好商，如果

[(1)]
1.

$𝜑 : 𝑋 \to 𝑌$ 是 $𝐺$ -不变态射，满射和仿射的。
2.

$O 𝑌 \to 𝜑 * O 𝐺 𝑋$ 是一个同构。
3.

如果 $𝑊 1$ 和 $𝑊 2$ 是两个不相交的 $𝐺$ -不变闭子概形，那么 $𝜑 (𝑊 1)$ 和 $𝜑 (𝑊 2)$ 是不相交的闭子概形。

Remark 1.2.

1.

好商是 local on the target 的，即：取 $𝑌$ 的一个开覆盖 $𝑌 = ⋃ 𝑌 𝑖$ , 设 $𝑋 𝑖 = 𝜑 - 1 (𝑌 𝑖)$ . 那么 $𝜑 : 𝑋 \to 𝑌$ 是好商 $⟺$ 对任意 $𝑖$ , $𝑋 𝑖 \to 𝑌 𝑖$ 是好商。
2.

$―――― 𝐺 \cdot 𝑥 1 \cap ―――― 𝐺 \cdot 𝑥 2 \neq \emptyset ⟺ 𝜑 (𝑥 1) = 𝜑 (𝑥 2)$ .
3.

好商一定是范畴商。

Definition 1.6 (几何商).

如果 $𝐺$ 是一个 finite abstrct group(viewed as a group scheme over $ℤ$ ) 作用在代数空间 $𝑈$ 上，一个 $𝐺$ -不变态射 $𝑈 \to 𝑋$ , 其中 $𝑋$ 是代数空间。我们将 $𝑈 \to 𝑋$ 称为几何商，如果

1.

对于任意代数闭域 $𝑘$ , 映射 $𝑈 \to 𝑋$ 诱导一个双射 $𝑈 (𝑘) / 𝐺 \sim ⟶ 𝑋 (𝑘)$
2.

$𝑈 \to 𝑋$ 具有泛性质：对于任意 $𝐺$ -不变态射 $𝑈 \to 𝑌$ , 其中 $𝑌$ 是一个代数空间，则有以下图交换

如果 $𝜋 : 𝑈 \to 𝑋$ 是一个几何商，那么我们经常将其记为 $𝑋 = 𝑈 / 𝐺$ .

Definition 1.7.

如果一个 finite abstract group $𝐺$ 作用在仿射概形 $S p e c 𝐴$ 商，那么 $𝐺$ 也作用在环 $𝐴$ 商。我们定义这个不变换为

𝐴 𝐺 = {𝑓 \in 𝐴 | 𝑔 \cdot 𝑓 = 𝑓 f o r a l l 𝑔 \in 𝐺} .

接下来，我们打算证明 $S p e c 𝐴 \to S p e c 𝐴 𝐺$ 是一个几何商。