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Existence and density of typical Hodge loci

发布于 2026-08-15T15:33:56Z · 公开内容更新于 2026-08-21T15:50:55Z

Existence and density of typical Hodge locus 1 目标以下这个定理，就是本文的目标。

Existence and density of typical Hodge locus

1 目标

以下这个定理，就是本文的目标。我们打算搞清楚，它到底在说明什么。

Definition 1.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ and let $(𝐆, 𝐷)$ be its generic Hodge datum. Let $(𝐌, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐆, 𝐷)$ be a strict Hodge sub-datum. We define the Hodge locus of type $𝐌$ as

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌) : = {𝑠 \in 𝑆 𝑎 𝑛 : \exists 𝑔 \in 𝐆 (ℚ) +, 𝐌 𝐓 (𝕍 𝑠) \subseteq 𝑔 𝐌 𝑔 - 1} .

Definition 2.

设 $𝑋, 𝑌$ 是 locally closed irreducible analytic subvarieties of some irreducible complex analytic $𝑍$ . 设 $𝑈$ 是一个 analytic irreducible component of the intersection $𝑋 \cap 𝑌$ .

𝑋, 𝑌 \subseteq 𝑍, 𝑈 \subseteq 𝑋 \cap 𝑌 .

我们称 $𝑋$ 和 $𝑌$ intersect in $𝑍$ with bigger dimension than expected along $𝑈$ , 如果

d i m 𝑈 > d i m 𝑋 + d i m 𝑌 - d i m 𝑍 .

否则，我们称其为 intersect in $𝑍$ with expected dimension along $𝑈$ .

Definition 3.

A strict Hodge sub-datum $(𝐌, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐆, 𝐷)$ 称为 $𝕍$ -admissible，如果满足以下维数的不等式

d i m Φ (𝑆 𝑎 𝑛) + d i m 𝐷 𝑀 - d i m 𝐷 \geq 0 .

我们称 $(𝐌, 𝐷 𝑀)$ 为 strongly $𝕍$ -admissible 如果以上的不等式是 strict 的。

Theorem 4.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ with generic Hodge datum $(𝐆, 𝐷)$ . Assume that its algebraic monodromy group is $𝐇 = 𝐆 𝑑 𝑒 𝑟$ and is $ℚ$ -simple. Let $(𝐌, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐆, 𝐷)$ be a strict Hodge sub-datum.

1.

如果 $(𝐌, 𝐷 𝑀)$ 是 $𝕍$ -admissible, 那么 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌)$ 在 $𝑆 𝑎 𝑛$ 里面是 analytically dense.
2.

如果 $(𝐌, 𝐷 𝑀)$ 是 strongly $𝕍$ -admissible. 那么 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌) 𝑡 𝑦 𝑝$ 在 $𝑆 𝑎 𝑛$ 里是解析稠密的。

除了这个定理，我们还有一个目标是搞清楚以下定理(ii)的一个证明。

Theorem 5.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ with generic Hodge datum $(𝐆, 𝐷)$ . 设 $(𝐌, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐆, 𝐷)$ 是一个 strict Hodge sub-datum.

(i)

如果 $(𝐌, 𝐷 𝑀)$ 是 full on the $𝐋$ -factor and factoriwise $𝕍$ -admissible, 那么 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌)$ 在 $𝑆 𝑎 𝑛$ 里面是 analytically dense.
(ii)

如果 $𝐇 = 𝐆 𝑑 𝑒 𝑟$ 并且 $(𝐌, 𝐷 𝑀)$ 是 strongly factoriwise $𝕍$ -admissible, 那么 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌) 𝑡 𝑦 𝑝$ 在 $𝑆 𝑎 𝑛$ 里是解析稠密的。

2 基本定义

Definition 6 (Semisimple algebraic group).

设 $𝐺$ 是一个 connected linear algebraic group。记

𝑅 (𝐺)

为 $𝐺$ 的 radical，即 $𝐺$ 中最大的 connected solvable normal algebraic subgroup。

如果

𝑅 (𝐺) = {1},

则称 $𝐺$ 为 semisimple algebraic group。

Definition 7 ( $𝐐$ -simple algebraic group).

设 $𝐻$ 是定义在 $𝐐$ 上的 connected semisimple algebraic group。称 $𝐻$ 是 $𝐐$ -simple 的，如果 $𝐻$ 不存在非平凡的 proper connected normal algebraic subgroup defined over $𝐐$ 。

换言之，若

𝑁 ◃ 𝐻

是一个 connected normal $𝐐$ -algebraic subgroup，则必有

𝑁 = {1} 或 𝑁 = 𝐻 .

Example 8.

群

𝑆 𝑝 2 𝑔

是 $𝐐$ -simple 的。事实上， $𝑆 𝑝 2 𝑔$ 是 absolutely almost simple，因此特别是 $𝐐$ -simple。

注意有限中心

𝑍 (𝑆 𝑝 2 𝑔) = {\pm 𝐼}

并不违反 $𝐐$ -simplicity，因为定义中只考虑 connected normal algebraic subgroups。

Example 9.

直积

𝐻 = 𝑆 𝑝 2 𝑔 1 \times 𝑆 𝑝 2 𝑔 2

不是 $𝐐$ -simple，因为

𝑆 𝑝 2 𝑔 1 \times {1} ◃ 𝐻

是一个 nontrivial proper connected normal $𝐐$ -algebraic subgroup。

Remark 10.

$𝐐$ -simple 只表示在 $𝐐$ 上不存在非平凡的 connected normal factor；它不一定意味着 base change 到 $―― 𝐐$ 后仍然 simple。

因此

𝐐 - s i m p l e

与

a b s o l u t e l y s i m p l e

是不同的概念。

Definition 11.

设 $𝐆$ 是一个定义在 $ℚ$ 上的代数群.

符号	英文名称	含义
$𝐺 a d$	Adjoint group	$𝐺$ 的伴随群。在本文的 reductive group 语境下，可理解为 $𝐺 a d = 𝐺 / 𝑍 (𝐺),$ 即把 $𝐺$ 的中心 $𝑍 (𝐺)$ 商掉。例如 $𝐺 𝐿 a d 𝑛 = 𝑃 𝐺 𝐿 𝑛 .$
$𝐺 d e r$	Derived subgroup	$𝐺$ 的导出子群，由 commutators 生成，记作 $𝐺 d e r = [𝐺, 𝐺] .$ 它刻画 $𝐺$ 的非交换部分，而商群 $𝐺 / 𝐺 d e r$ 是交换群。例如 $𝐺 𝐿 d e r 𝑛 = 𝑆 𝐿 𝑛 .$
$𝐺 (𝐑)$	Real points	$𝐺$ 的实点群。它自然具有 real analytic topology，并构成一个 real Lie group；它一般不必连通。
$𝐺 (𝐑) +$	Identity component	$𝐺 (𝐑)$ 在 real analytic topology 下包含单位元的连通分支，即 $𝐺 (𝐑) + : = 𝐺 (𝐑) \circ .$ 这里上标 $+$ 表示 identity component，并不是一般意义上的“正元素”。
$𝐺 (𝐐)$	Rational points	$𝐺$ 的有理点群，即定义在 $𝐐$ 上的点。
$𝐺 (𝐐) +$	Rational points in the identity component	定义为 $𝐺 (𝐐) + : = 𝐺 (𝐐) \cap 𝐺 (𝐑) + .$ 也就是说，它由那些同时是 rational points，又位于 $𝐺 (𝐑)$ 的 identity component 中的元素组成。

Table 1: 本文中有关 algebraic groups 的基本符号。

Definition 12.

设 $𝑥 : 𝕊 \to 𝐆 𝐋 (𝑉 ℝ)$ 是 $ℚ$ 向量空间 $𝑉$ 上的一个 $ℚ$ Hodge 结构。那么我们定义 $𝑥$ 对应的 Mumford-Tate group $𝐌 𝐓 (𝑥)$ 为满足 $𝑥 : 𝕊 \to 𝐌 𝐓 (𝑥) ℝ \to 𝐆 𝐋 (𝑉 ℝ)$ 的 $𝐆 𝐋 (𝑉)$ 中的最小子群。

Proposition 13.

$𝐌 𝐓 (𝑥)$ 是一个连通 $ℚ$ -algebraic group. 如果 $𝑥$ 是 polarized, 那么 $𝐌 𝐓 (𝑥)$ 是 reductive 的。

Definition 14.

设 $𝑥 : 𝕊 \to 𝐆 𝐋 (𝑉 ℝ)$ 是 $ℚ$ 向量空间 $𝑉$ 上的一个 $ℚ$ Hodge 结构。那么我们定义 $𝑥$ 对应的 Mumford-Tate domain 为 $𝑥$ 在实李群 $𝐌 𝐓 (𝑥) (ℝ) +$ 上的同宿轨道，即

𝐌 𝐓 (𝑥) (ℝ) + \cdot 𝑥 .

Definition 15.

1.

A Hodge datum 是一个 pair $(𝐆, 𝐷)$ 其中 $𝐆$ 是一个 Mumford-Tate group of some Hodge structure, 并且 $𝐷$ 其对应的 Mumford-Tate domain.
2.

Hodge data 之间的态射 $(𝐆, 𝐷) \to (𝐆', 𝐷')$ 是 $ℚ$ -groups 之间的态射 $𝐆 \to 𝐆'$ 并且将 $𝐷$ 送往 $𝐷'$ .
3.

A Hodge sub-datum of $(𝐆, 𝐷)$ 是一个 Hodge datum $(𝐆', 𝐷')$ 使得 $𝐆'$ 是 $𝐆$ 的一个 $ℚ$ -子群并且 $𝐆' ↪ 𝐆$ 给出一个 Hodge datum 之间的态射 $(𝐆', 𝐷') \to (𝐆, 𝐷)$ .
4.

A Hodge variety 定义为 a quotient variety of the form $Γ\𝐷$ for some Hodge datum $(𝐆, 𝐷)$ and some torsion-free arithmetic lattice $Γ \subset 𝐆 (ℚ) +$ .

Remark 16.

注意我们这里考虑的都是连通的 Hodge datum.

Definition 17.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective algebraic variety $𝑆$ over $ℂ$ . 存在一个 reductive $ℚ$ -algebraic group $𝐆$ 和一个 countable union $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes)$ of irreducible algebraic subvarieties of $𝑆$ such that for each point $𝑠 \in 𝑆 𝑎 𝑛$ , the polarized Hodge structure carried by $𝕍 𝑠$ has Mumford-Tate group isomorphic (by parallel transport) to a subgroup of $𝐆$ which is strictly contained in $𝐆$ iff $𝑠 \in 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes)$ . $𝐆$ 称为 generic Mumford-Tate group of $𝕍$ , the locus $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝑉 \otimes)$ 称为 Hodge locus of $𝑆$ for $𝕍$ , and points $𝑠 \in 𝑆 𝑎 𝑛 - 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes)$ 称为 Hodge generic.

设 $𝐷 : = 𝐆 (ℝ) + \cdot ℎ 𝑠 \subseteq H o m (𝕊, 𝐆 ℝ)$ . $ℎ 𝑠$ 是 $𝑠$ 点对应的 Hodge 结构。那么我们称 Hodge datum $(𝐆, 𝐷)$ 为 $𝕍$ 的 generic Hodge datum.

如果 $𝑌$ 是 $𝑆$ 的一个 irreducible algebraic subvariety of $𝑆$ , 我们可以定义一个其对应的 generic Hodge datum $(𝐆 𝑌, 𝐷 𝐺 𝑌)$ of $𝑌$ for $𝕍$ . 我们可以将其看成 $(𝐆, 𝐷)$ 的一个 Hodge sub-datum.

Definition 18 (Generic Hodge datum of a subvariety).

设 $𝕍$ 是定义在 $𝑆$ 上的 polarizable VHS，且其 generic Hodge datum 为

(𝐺, 𝐷) .

若 $𝑌 \subset 𝑆$ 是一个 irreducible algebraic subvariety，则考虑限制

𝕍 | 𝑌 s m .

它的 generic Mumford–Tate group 记为 $𝐺 𝑌$ ，对应的 Mumford–Tate domain 记为 $𝐷 𝐺 𝑌$ 。

我们称

(𝐺 𝑌, 𝐷 𝐺 𝑌)

为 $𝑌$ for $𝕍$ 的 generic Hodge datum，并将其视为 $(𝐺, 𝐷)$ 的一个 Hodge sub-datum：

𝐺 𝑌 \subseteq 𝐺, 𝐷 𝐺 𝑌 \subseteq 𝐷 .

直观上， $𝑌$ 上可能 generically 出现额外的 Hodge tensors，因此

更多 g e n e r i c H o d g e t e n s o r s ⟹ 𝐺 𝑌 ⊊ 𝐺 .

Example 19 (Split locus in $A 𝑔$ ).

在 $A 𝑔$ 中，

𝐺 = 𝐺 𝑆 𝑝 2 𝑔, 𝐷 = ℌ 𝑔 .

若 $𝑌$ 参数化在 isogeny 意义下分裂为

𝐴 \sim 𝐸 \times 𝐵, d i m 𝐸 = 1, d i m 𝐵 = 𝑔 - 1,

则该分裂给出额外的 Hodge projector，因此

𝐺 𝑌 ⊊ 𝐺 𝑆 𝑝 2 𝑔, 𝐷 𝐺 𝑌 ≃ ℌ 1 \times ℌ 𝑔 - 1 ⊊ ℌ 𝑔 .

Example 20 (Hodge-generic subvariety).

若 $𝑌 \subset 𝑆$ 没有出现新的 generic Hodge tensors，则可能有

𝐺 𝑌 = 𝐺, 𝐷 𝐺 𝑌 = 𝐷 .

Example 21 (CM point).

若 $𝑌 = {𝑦}$ 是一个 CM point，则

𝐺 𝑌 = 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑦)

通常是一个 torus，并且

𝐷 𝐺 𝑌 = {ℎ 𝑦} .

3 Hodge locus

Definition 22 (Hodge locus).

设 $𝕍$ 是定义在 smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ 上的 polarizable $𝐙$ -VHS，并设

𝐺

为 $𝕍$ 的 generic Mumford–Tate group。

通过 parallel transport 将各个 fiber $𝑉 𝑠$ 识别到一个固定的 reference fiber 后，定义 $𝕍$ 的 Hodge locus 为

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) : = {𝑠 \in 𝑆 a n : 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑠) ⊊ 𝐺} .

也就是说，

𝑠 \in 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes)

当且仅当 $𝑉 𝑠$ 的 Mumford–Tate group 比 generic Mumford–Tate group $𝐺$ 严格更小。

不属于 Hodge locus 的点称为 Hodge generic，即

𝑠 \notin 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) ⟺ 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑠) = 𝐺 .

此外，

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes)

是 $𝑆$ 中至多可数个 irreducible algebraic subvarieties 的并。

Definition 23 (Hodge locus of a tensor).

设 $𝛼$ 是 $𝕍 \otimes$ 中的一个 locally flat tensor。定义

𝐻 𝐿 (𝛼) : = {𝑠 \in 𝑆 a n : 𝛼 𝑠 i s a H o d g e t e n s o r} .

因此，总的 Hodge locus 可以理解为所有额外 Hodge tensors 所对应 loci 的并：

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) = ⋃ 𝛼 𝐻 𝐿 (𝛼),

其中只考虑那些并非在 generic fiber 上已经是 Hodge tensor 的 $𝛼$ 。

Definition 24 (Hodge locus of type $𝑀$ ).

设

(𝐺, 𝐷)

是 $𝕍$ 的 generic Hodge datum，并取一个 strict Hodge sub-datum

(𝑀, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐺, 𝐷) .

定义 type $𝑀$ 的 Hodge locus 为

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝑀) : = {𝑠 \in 𝑆 a n : \exists 𝑔 \in 𝐺 (𝐐) +, 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑠) \subseteq 𝑔 𝑀 𝑔 - 1} .

它只挑选 Hodge locus 中 Mumford–Tate group 至少下降到某个 rational conjugate of $𝑀$ 的那些点。因此

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝑀) \subseteq 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) .

𝑠 H o d g e g e n e r i c ⟺ 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑠) = 𝐺, 𝑠 \in 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) ⟺ 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑠) ⊊ 𝐺, 𝑠 \in 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝑀) ⟺ 𝑀 𝑇 (𝑉 𝑠) \subseteq 𝑔 𝑀 𝑔 - 1 f o r s o m e 𝑔 \in 𝐺 (𝐐) + .

4 Typical Hodge locus

Definition 25 (Special subvariety).

设 $𝑌 \subseteq 𝑆$ 是一个不可约 algebraic subvariety. 我们称 $𝑌$ 为 a special subvariety of $𝑆$ for $𝕍$ , 如果 it is maximal for the inclusion among irreducible algebraic subvarieties of $𝑆$ whose generic Mumford-Tate group is $𝔾 𝑌$ .

Remark 26.

更精确地说，设

𝑌 \subset 𝑆

不可约，它的一般点具有 generic Mumford–Tate group

𝐺 𝑌 .

如果存在更大的不可约子簇

𝑌 ⊊ 𝑍 \subset 𝑆

并且

𝐺 𝑍 = 𝐺 𝑌,

那么 $𝑌$ 就不是 special。

只有当 $𝐶$

𝑌 \subseteq 𝑍, 𝐺 𝑍 = 𝐺 𝑌 ⟹ 𝑍 = 𝑌

时， $𝑌$ 才叫 special subvariety。

Example 27.

假设 $𝑆$ 里面有

𝐶 ⊊ 𝐷 \subset 𝑆,

其中 $𝐶$ 是曲线， $𝐷$ 是曲面，而且

𝐺 𝐶 = 𝑀, 𝐺 𝐷 = 𝑀 .

那么 $𝐶$ 虽然一般点也有 MT group $𝑀$ ，但因为 $𝐶 ⊊ 𝐷$ 而 $𝐷$ 的 generic MT group 仍然是 $𝑀$ ，所以不是 special.

如果再没有更大的不可约子簇

𝑍 ⊋ 𝐷

满足

𝐺 𝑍 = 𝑀,

那么

𝐷 才是 s p e c i a l .

Remark 28.

A special subvariety of the Hodge variety $Γ\𝐷$ 定义为 image of a map

[𝑓]:Γ′\𝐷′→Γ\𝐷

这个 $𝑓$ 来自 morphism of Hodge data $𝑓 : (𝐆', 𝐷') \to (𝐆, 𝐷)$ , 其中 $Γ' \subseteq 𝐆' (ℚ) +$ 是一个 torsion-free 算数 lattice 使得 $𝑓 (Γ') \subseteq Γ$ .

Proposition 29.

一个不可约 algebraic subvariety $𝑌 \subseteq 𝑆$ 是 special for $𝕍 ⟺ 𝑌$ 是 $Φ - 1 (s p e c i a l s u b v a r i e t y)$ 的一个不可约分支。

Definition 30.

Let $𝑌$ be a special subvariety of $𝑆$ for $𝕍$ with generic Hodge datum $(𝐆 𝑌, 𝐷 𝐆 𝑌)$ . It is said to be atypical if $Φ (𝑆 𝑎 𝑛)$ and $Γ𝐺𝑌\𝐷𝐺𝑌$ intersect with bigger dimension than expected along $Φ (𝑌 𝑎 𝑛)$ inside of $Γ\𝐷$ , i.e.

codimΓ\𝐷Φ(𝑌𝑎𝑛)<codimΓ\𝐷Φ(𝑆𝑎𝑛)+codimΓ\𝐷Γ𝐺𝑌\𝐷𝐺𝑌.

否则，我们称其为 typical.

Remark 31.

我们可以得到 typical 的定义为：

dim⁡Φ(𝑌𝑎𝑛)=dim⁡Φ(𝑆𝑎𝑛)+dim⁡Γ𝐺𝑌\𝐷𝐺𝑌−dim⁡Γ\𝐷.

The Hodge locus splits in two parts:

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) = 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) 𝑡 𝑦 𝑝 \cup 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) 𝑎 𝑡 𝑦 𝑝 .

其中 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) 𝑡 𝑦 𝑝$ 定义为 strict typical special subvariety of $𝑆$ for $𝕍$ , and is referred to as the typical Hodge locus.

Definition 32 (Hodge locus of type $𝐌$ ).

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ . 设 $(𝐆, 𝐷)$ 是 $𝕍$ 上的 generic Hodge datum. 我们记 $Φ:𝑆𝑎𝑛→Γ\𝐷$ 为与 $𝕍$ 关联的 period map. 给定 a strict Hodge sub-datum $(𝐌, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐆, 𝐷)$ , 我们定义 the Hodge locus of type $𝐌$ 为

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝑉 \otimes, 𝐌) : = {𝑠 \in 𝑆 𝑎 𝑛 : \exists 𝑔 \in 𝐆 (ℚ) +, 𝐌 𝐓 (𝕍 𝑠) \subseteq 𝑔 𝐌 𝑔 - 1} .

Definition 33 (typical Hodge locus of type $𝐌$ ).

我们定义 typical Hodge locus of type $𝐌$ ，记为 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌) 𝑡 𝑦 𝑝$ , 为 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌)$ 的不可约分支并且需要满足 typical with respect to their generic Hodge datum.

Definition 34.

𝑋, 𝑌 \subseteq 𝑍, 𝑈 \subseteq 𝑋 \cap 𝑌 .

我们称 $𝑋$ 和 $𝑌$ intersect in $𝑍$ with bigger dimension than expected along $𝑈$ , 如果

d i m 𝑈 > d i m 𝑋 + d i m 𝑌 - d i m 𝑍 .

Definition 35.

一个 strict Hodge sub-datum $(𝑀, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐺, 𝐷)$ 称为 $𝕍$ -admissible，如果满足以下维数的不等式

d i m Φ (𝑆 𝑎 𝑛) + d i m 𝐷 𝑀 - d i m 𝐷 \geq 0 .

我们称 $(𝑀, 𝐷 𝑀)$ 为 strongly $𝕍$ -admissible 如果以上的不等式是 strict 的。

Definition 36.

设 $𝕍$ 是一个 $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective algebraic variety $𝑆$ over $ℂ$ . 设 $(𝐆, 𝐷)$ 是其上的 generic Hodge datum, 并固定一个 Hodge generic 点 $𝑠 0 \in 𝑆 𝑎 𝑛$ 使得 the Mumford-Tate group of the Hodge structure carried by $𝕍 𝑠 0$ is equal to $𝐆$ . The local system $𝕍 ℚ : = 𝕍 \otimes ℤ ℚ$ corresponds to a representation of the topological fundamental group of $𝑆 𝑎 𝑛$ based at $𝑠 0$ :

𝜌 : 𝜋 1 (𝑆 𝑎 𝑛, 𝑠 0) \to 𝐆 𝐋 (𝕍 𝑠 0, ℚ) .

我们定义 algebraic monodromy group $𝐇$ of $𝕍$ 为 the identity connected component of the $ℚ$ -Zariski closure of the image of $𝜌$ in $𝐆 𝐋 (𝕍 𝑠 0, ℚ)$ . 也就是说， $𝐇$ 是 $𝜌 (𝜋 1 (𝑆 𝑎 𝑛, 𝑠 0))$ 的 $ℚ$ -Zariski closure 的 identity component.

Definition 37.

更一般的，如果 $𝑌 \subset 𝑆$ 是一个 irreducible algebraic subvariety, 我们可以定义 $𝕍$ 在 $𝑌$ 上的 algebraic monodromy group $𝐇 𝑌$ 为 $𝕍 | 𝑌$ 的 algebraic monodromy group.

Theorem 38.

设 $𝑌 \subset 𝑆$ 是一个不可约代数子簇。那么 the monodromy group $𝐇 𝑌$ of $𝑌$ for $𝕍$ 是 derived subgroup $𝐆 𝑑 𝑒 𝑟 𝑌$ of the generic Mumford-Tate group of $𝑌$ for $𝕍$ 的一个 normal subgroup. 也就是说， $𝐇 𝑌 ◃ 𝐆 𝑑 𝑒 𝑟 𝑌$ .

Definition 39.

设 $𝑌$ 是一个 irreducible algebraic subvariety $𝑌 \subset 𝑆$ . 我们称 $𝑌$ 是 weakly special for $𝕍$ 如果 it is maximal for the inclusion among irreducible algebraic subvarieties of $𝑆$ whose algebraic monodromy group is $𝐇 𝑌$ .

Proposition 40.

设 $𝑌 \subset 𝑆$ 是一个不可约代数子簇。 $𝑌$ 是 a weakly special subvariety of $𝑆$ for $𝕍$ $⟺$ it is the preimage by $Φ$ of a weakly special subvariety of $Γ\𝐷$ for the Hodge datum $(𝐆, 𝐷)$ .

5 一些猜想

Conjecture 41.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ . The atypical Hodge locus $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) 𝑎 𝑡 𝑦 𝑝$ of $𝑆$ for $𝕍$ is an algebraic subvariety of $𝑆$ .

Conjecture 42.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ . 如果 $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) 𝑡 𝑦 𝑝$ 是非空的， $𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes) 𝑡 𝑦 𝑝$ 在 $𝑆$ 中是解析稠密的。

Conjecture 43.

设 $𝕍$ 是一个 polarizable $ℤ$ -VHS on a smooth, irreducible and quasi-projective variety $𝑆$ over $ℂ$ , 其 generic Hodge datum $(𝐆, 𝐷)$ . 设 $(𝐌, 𝐷 𝑀) ⊊ (𝐆, 𝐷)$ 是一个 strict Hodge sub-datum,满足 $d i m Φ (𝑆 𝑎 𝑛) + d i m 𝐷 𝑀 = d i m 𝐷$ . 那么对于任意非空解析开集 $𝐵 \subset 𝑆 𝑎 𝑛$ , 那么我们有以下真包含

𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌) 𝑎 𝑡 𝑦 𝑝 \cap 𝐵 ⊊ 𝐻 𝐿 (𝑆, 𝕍 \otimes, 𝐌) \cap 𝐵 .

Conjecture 44.

设 $𝑆 \subset A 𝑔$ 是一个闭 Hodge generic subvariety of dimension $𝑞$ , 并且 $𝕍$ 是 the induced polarizable $ℤ$ -VHS on $𝑆$ . The typical Hodge locus of $𝑆$ for $𝕍$ is analytically dense $⟺$ $𝑞 \geq 𝑔 - 1$ . In that case, the Hecke translates of $A 𝑔 - 1 \times A 1$ in $A 𝑔$ intersect $𝑆$ in an analytically dense subset.

Conjecture 45.

Let $𝑆 \subset A 𝑔$ be a closed Hodge generic subvariety of dimension $𝑞$ , and $𝕍$ the induced polarizable $ℤ$ -VHS on $𝑆$ . The typical Hodge locus of $𝑆$ for $𝕍$ is analytically dense if and only if $𝑞 \geq 𝑔 - 1$ . In that case, the Hecke translates of $A 𝑔 - 1 \times A 1$ in $A 𝑔$ intersect $𝑆$ in an analytically dense subset.

其中

Let $𝑆 \subset A 𝑔$ be a closed Hodge generic subvariety of dimension $𝑞$ , and $𝕍$ the induced polarizable $ℤ$ -VHS on $𝑆$ . If $𝑞 \geq 𝑔$ , then the typical Hodge locus of $𝑆$ for $𝕍$ is analytically dense. In that case, the Hecke translates of $A 𝑔 - 1 \times A 1$ in $A 𝑔$ intersect $𝑆$ in an analytically dense subset.