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On the boundedness of fibered Calabi-Yau varieties

发布于 2026-08-04T01:33:35Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:59:03Z

一些学习笔记。不懂双有理几何。 𝑋 / ℂ 是一个射影簇。 Definition 1 . 我们称一个簇 𝑋 为 Fano 簇，如果 𝐾 𝑋 是 ample 的。 Definition 2 . 我们称一个簇 𝑋 为 𝐾 -trivial 簇，如果 𝐾 𝑋 ∼ 𝑄 0 . MMP: 𝑋 = 𝑋 0 → 𝑋 1 → ⋯ →

一些学习笔记。不懂双有理几何。

$𝑋 / ℂ$ 是一个射影簇。

Definition 1.

我们称一个簇 $𝑋$ 为 Fano 簇，如果 $𝐾 𝑋$ 是 ample 的。

Definition 2.

我们称一个簇 $𝑋$ 为 $𝐾$ -trivial 簇，如果 $𝐾 𝑋 \sim 𝑄 0$ .

MMP: $𝑋 = 𝑋 0 \to 𝑋 1 \to \dots \to 𝑋 𝑚$ , 这个过程 contracting $𝐾 𝑋$ negative curves. $𝑋 𝑖 𝑑 𝑖 𝑣 𝑐 𝑜 𝑢 𝑛 𝑡 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑋 𝑖 + 1$

Definition 3.

设 $𝐷$ 是一个射影簇的 collection， $𝑆$ 是 schme of finite type.

1.

我们称 $𝐷$ 为 bounded 如果存在射影态射 $ℎ : 𝔛 \to 𝑆$ , 使得对任意 $𝑥 \in 𝐷, \exists 𝑠 \in 𝑆$ , $𝑋 ≃ 𝔛 𝑠$ .
2.

birationally bounded, 如果 $𝑋$ 和 $𝔛 𝑠$ 是双有理等价。
3.

bounded in $c o d i m 1$ , 如果 $𝑋$ 和 $𝔛 𝑠$ 在余维数为 $1$ 的时候是同构的。

Definition 4.

设 $(𝑋, 𝐵) \in 𝐷$ , 其中 $𝐵$ 是一个线丛。 $(𝔛, E) \to 𝑆$ .

Proposition 5.

如果存在常数 $𝑟$ ，使得对于每个 (X,B) ∈D, 都能找到 $𝑋$ 上 very ample 除子 $𝐴$ , 满足

𝐴 d i m 𝑋 < 𝑟, 𝐴 d i m 𝑋 - 1 \cdot S u p p 𝐵 < 𝑟,

那么 $𝐷$ 是 log bounded 的。

Proposition 6 (Hacon-McKernan-Xu).

$(𝑋, 𝐵)$ log canonical model, $𝐾 𝑋 + 𝐵$ ample, $d i m 𝑋 = 𝑑$ , fix $𝑣 𝑜 𝑙 (𝐾 𝑋 + 𝐵)$ .

𝑣 𝑜 𝑙 (𝐾 𝑋 + 𝐵) = ――― l i m 𝑚 \to \infty ℎ 0 (𝑋, O 𝑋 (⌊ 𝑚 (𝐾 𝑋 + 𝐵) ⌋)) 𝑚 𝑑 / 𝑑! .

$< 𝑟 ⟹$ bir bounded, $= 𝑟 ⟹$ log bounded.

Proposition 7.

Smooth Fano 簇是 bounded.

Proposition 8.

$E$ -lc Fano type var bounded.

问题：所有的 $𝑑$ 维 Calabi-Yau 流形都是 bounded 的吗？

考虑 $̃ 𝑋 𝑒 𝑡 𝑎 𝑙 𝑒 𝑐 𝑜 𝑣 𝑒 𝑟 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑋$ , 那么

̃ 𝑋 ≃ 𝐴 \times \prod 𝐼 𝐻 𝑖 \times \prod 𝑗 𝑌 𝑗 .

$𝐴$ 是 abel 簇， $𝐻$ 是 hyperkahler factor, $𝑌$ 是 strict Calabi Yau factor.

当 $d i m 𝑌 \geq 3$ 的时候，这个问题非常困难。但是如果 $𝑓 : 𝑌 \to 𝑋$ , $d i m 𝑋 = d i m 𝑌 - 1$ 的时候，这个 $3$ fold 的问题已经被解决。

Proposition 9 (Goss).

The set of $(𝑋, 𝑆, ℎ)$ , $ℎ : 𝑋 \to 𝑆$ elliptic CY $3$ fold are birationally bounded.

Proposition 10.

Proj elliptic CY $3$ folds are bounded.

Proposition 11.

The set of Proj var $𝑌$ 使得

1.

$𝑌$ CY mld $d i m 𝑌 = 𝑑$ .
2.

$𝑓 : 𝑌 \to 𝑋$ elliptic fib with a rational section.

is bounded up to flops.

(1) $𝑌$ CY mld $d i m 𝑌 = 𝑑$ . (2) $𝑓 : 𝑌 \to 𝑋$ elliptic fib with a rational section .

Natural strategry bdd the base $𝑋$ bdd the fiberation $\leftarrow$ need the rational section.

section $𝑆$ for $𝑓 : 𝑌 \to 𝑋$ after biration modification $(𝑌, 𝑆)$ plt. consider minimal model of $(𝑌, 12 (𝑆 + 𝑓 * 𝐻))$ . $𝑣 𝑜 𝑙 (𝐾 𝑌 + 𝑆 + 𝑓 * 𝐻)$ bdd $⟹$ log bir bdd $⟹$ log bdd.

Canonical bundle formula $\to$ log CY structure on $𝑋$ .

设 $𝑓 : (𝑌, Δ 𝑌) \to 𝑋$ 是 lc-trivial fibration. 那么我们有 $𝐾 𝑌 + Δ 𝑌 \sim ℚ 𝑓 * (𝐾 𝑋 + 𝐵 𝑋 + 𝑀 𝑋)$ . 如果 $𝑌$ 是 $𝐾$ -trivial 的，那么 $𝐾 𝑌 \sim ℚ 0$ . 那么基底上得到 $𝐾 𝑋 + 𝐵 𝑋 + 𝑀 𝑋 \sim ℚ 0$ . 因此 $(𝑋, 𝐵 𝑋 + 𝑀 𝑋)$ 是一个 generalized log Calabi-Yau pair。其中 $𝐵 𝑋$ 是 discriminant part, $𝑀 𝑋$ 是 moduli part.

$𝐵 𝑋$ 记录的是: 纤维在余维 $1$ 处的奇异性和重数。 $𝑀 𝑋$ 衡量了 $𝑓$ 的 variation.

Proposition 12.

$𝑋$ 是 rationally connected.

Theorem 13.

$𝑑 \geq 3$ , $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ , $d i m 𝑌 < d i m 𝑋 = 𝑑$ . $𝑋$ 是 CY. general fiber

{(𝐴 𝑉) (𝑃 𝑆) p r i m i t i v e s y m p l e c t i c v a r o f a f i x e d d e f o r m c l a s s

那么是 birationally bounded.

Corollary 14.

Fibered CY $3$ -fold bounded.

1 Abelian fibrations Tate-Shafarevich groups/twists

Definition 15.

A minimal elliptic fiber is a morphism $𝑓 : 𝑆 \to 𝐶$ 使得 $𝑆$ 是一个光滑曲面， $𝐶$ 是一个光滑曲线， $𝑓$ 是 flat proj 并且有 connected fibers, general fibers of $𝑓$ are elliptic curves, $𝑆$ is min/ $ℂ$ (ie. $𝐾 𝑆$ is num $𝑓$ -trivial)

Remark 16.

$𝑓$ may not have a section. $𝐶$ is not nec projective.(eg. $ℂ = 𝔸 1$ )