文章
Abelian varieties of weil type
·
Ruxuan Zhang 的工作。学习笔记
1 基础定义
设 X/\mathbb {C} 是一个维数为 n 的光滑射影簇。 $H^k(X,\mathbb C) = \bigoplus_{p+q =k} H^{p,q}(X),其中H^{p,q}(X) \simeq H^q(X,\Omega_X^p), \quad \Omega_X^p = \bigwedge^p \Omega^1_X.其满足{H^{p,q}(X)} = H^{q,p}(X)$.
我们定义 Hodge 数为 $h^{p,q}(X) = \dim_\mathbb C H^{p,q}(X),其满足h^{p,q} = h^{q,p}以及h^{p,q} = h^{n-p,n-q}$.
定义余维 i 的整 Hodge 类群： $\text{Hdg}^i(X,\mathbb{Z}) := \{\alpha \in H^{2i}(X,\mathbb Z): \alpha_\mathbb C \in H^{i,i}(X)\}.定义余维i的有理 Hodge 类空间：\text{Hdg}^i(X,\mathbb Q): = H^{2i}(X,\mathbb Q) \cap H^{i,i}(X).后面我们直接将有理 Hodge 类空间直接记为{Hdg}^i(X)$.
定义 $CH^i(X) =A_{n-i}(X)= Z_{n-i}(X)/\text{Rat}_{n-i}(X).CH^i(X)_{Q}:= CH^i(X) _{Z} {Q}$.
设 V 是一个余维数为 i 的不可约子簇。 参考 [1, Def 11.17-Prop 11.20]. 我们知道 $[V] \in H^{2i}(X,\mathbb{Z}), \quad [V]_\mathbb C \in H^{i,i}(X).$ 这其实定义了两个个映射：
2 整 Hodge 猜想
整 Hodge 猜想就是在问： $CH^i(X) \to \text{Hdg}^i(X,\mathbb{Z}):= \{\alpha \in H^{2i}(X,\mathbb Z): \alpha_\mathbb C \in H^{i,i}(X)\}$ 是不是满射？
整 Hodge 已经被证伪了。
- \dim X = 1,2 的时候，整 Hodge 猜想成立。
- \dim X \ge 3 的时候，都存在光滑射影簇不满足整 Hodge 猜想。
设 g \ge 4, very general 的主极化 Abel 簇不满足整 Hodge 猜想。
参考 [2]. 这篇论文则是证伪了 Abel 簇上的整 Hodge 猜想。
3 有理 Hodge 猜想
有理 Hodge 猜想还是一个 open problem.
有理 Hodge 猜想就是在问： $CH^i(X)_\mathbb{Q} \to \text{Hdg}^i(X)$ 是不是满射？
以下四种情况 Hodge 猜想成立：
- i=0
- i=n
- i=1: Lefschetz (1,1) theorem
- i=n-1: Hard Lefschetz + Lefschetz (1,1) theorem
根据命题 8，即可知道 \dim \le 3 的光滑射影簇都自动满足有理 Hodge 猜想。
The HC hold for abelian sixfold of weil type of disc 1 \implies HC holds for every abelian fourfold.
Let D^p(X) \subseteq \text{Hdg}^p(X) be the subalg generated by \text{Hdg}^0 and \text{Hdg}^1.
- Mattuck: X is general AV \implies D^p(X) = \text{Hdg}^p(X).
- Tate: X\sim_{iso} \prod E_i \implies D^p(X)= \text{Hdg}^p(X).
- Mumford: \exists simple AV of \dim 4, s.t. D^2(X) \subsetneq \text{Hdg}^2(X).
- Tankeev: If X is simple \dim X = \text{prime} \implies D^2(X) = \text{Hdg}^2(X)
- Moonen-Zarhin: X simple AV fourfold. If D^p(X) \subsetneq \text{Hdg}^p(X) \implies X is of weil type.
- AV fourfold $\begin{cases} 2+2,& \text{Ramen} \\ 3+1, & \text{Hdg}^2(X) = D^2(X) \end{cases}$
- HC for WH abelian var of weil type of fixed sisc of \dim 2n \implies HC holds for WH of any weil type of \dim 2n-2.
4 Weil type
- A= \mathbb{C}^g/ \Gamma, \Gamma = H_1(A,\mathbb Z), V = H_1(A,\mathbb{Q}). V_R = H_1(A,\mathbb R).
- polarization E\in H^2(A,\mathbb{Z}), ample line bundle
设 A 和 B 是两个同源的 Abel 簇，那么有理 Hodge 猜想对于 A 成立 \iff 有理 Hodge 猜想对于 B 成立。
设 K= \mathbb{Q}(\sqrt{-d}), A 是一个 abel 簇。假设存在 K\hookrightarrow \text{End}^0(A)=\text{End}(A) \otimes \mathbb Q，那么我们称 A is an AV with multiplication by K.
设 \dim A=2n 并且存在 \rho:K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\hookrightarrow \text{End}^0(A). 域 K 有两个复嵌入 \sigma,\overline{\sigma}:K \hookrightarrow \mathbb{C}. 取 V = H_1(X,\mathbb Q). 我们定义
如果 \dim V_+ = \dim V_- = n, 我们称 A 是 of weil type 的。
设 A 是一个维数为 2n 的复 abel 簇。并且带有 Weil type : K=\mathbb Q(\sqrt{-d}) \hookrightarrow \text{End}^0(A). 那么 H^1(A,\mathbb Q) 就不只是 \mathbb Q 向量空间，还是一个 K-向量空间。
注意到 \dim_\mathbb{Q} H^1(A,\mathbb Q) = 4n 和 [K,\mathbb Q] = 2, 那么 $\dim_K H^1(A,\mathbb Q) = 2n.$
我们定义 Weil class 为 $W_K(A) := \bigwedge_K^{2n}H^1(A,\mathbb Q).因为H^1(A, Q)是2n维的K向量空间。所以W_K(A)是1维的 Q向量空间。那么_{Q} W_K(A)=2,W_K(A)是一个2维 Q$ 向量空间。
5 Mumford-Tate group
本节主要参考 [3].
设 K/k 是有限域扩张并且 G 是一个 algebraic group over K, 我们记 Res_{K/k} or (G)_{K/k} 为 algebraic group over k obtained from G by restriction of scalars. 设 p: \text{Spec} \ K \to \text{Spec} \ k 是由域扩张 K/k 给出的态射。对任意 k-scheme T, 记 T_k := T\times_{\text{Spec}\ k} \text{Spec} \ K. 考虑如下函子 $T \mapsto \text{Hom}_K(T_K, G),这是一个可表函子\cite[Chapter 7, 7.6, Theorem 4]{BLR90}, 可以被一个k概形表示, 所以将这个k概形定义为Res_{K/k}$.
Deligne torus \mathbb S 定义为 Res_{\mathbb C/ \mathbb R}(\mathbb G_m). 因此 $\mathbb S( \mathbb R) = \mathbb C^\times ,\quad \mathbb S_\mathbb{C} \simeq \mathbb G_m \times \mathbb G_m.$
因为 \mathbb S(\mathbb R) = \text{Hom}(\text{Spec} \ \mathbb R, \mathbb S) = \text{Hom}(\text{Spec}(\mathbb R \otimes \mathbb{C}) , \mathbb G_m)= \text{Hom}(\text{Spec} \ \mathbb C, \mathbb G_m) =\mathbb C^\times, 所以我们
实向量空间上的 Hodge 结构是一个 homomorphism h: \mathbb S \to GL_V. 因为我们有 $V\otimes \mathbb C = \bigoplus V^{p,q},其中h(z)在V^{p,q}的作用为z^{-p} z^{-q}. 一个有理 Hodge 结构(V,h)是一个 Q向量空间带有一个V R的 Hodge 结构使得w_his defined over Q$.
Tate Hodge 结构 \mathbb Q(m) 是 \mathbb{C} 的 \mathbb Q 子空间 (2\pi i)^m \mathbb Q 带有 h(Z) acting as multiplication by (z\overline{z})^m.
一个 weight m 的有理 Hodge 结构的极化定义为 Hodge 结构之间的态射 $\psi:V \otimes V \to \mathbb{Q}(-m), \quad m\in \mathbb Zsh 使得(x,y) (2 i)^m _ R(x,Cy): V_ R V_ R R. is symmetric and positive definite. HereC:= h(i)$ is the weil operator.
设 (V,h) 是一个有理 Hodge 结构。我们定义 Mumford-Tate group of (V,h) to be the smallest algebraic subgroup G of \text{GL}_V such that G_\mathbb R \supset h(\mathbb S). 我们将其记为 {MT}(V,h).
MT(V) 是连通约化代数群。
考虑遗忘函子 \omega: \mathbb Q\text{-}HS \to \mathbb Q\text{-}Vect, 我们定义 \mathcal{MT} = Aut^\otimes (\omega). 其中 $Aut^\otimes (\omega) = \{\text{保持所有态射和张量结构的自然自同构}\ \omega \to \omega\}.这是一个很大的 pro-algebraic group, 并且还有范畴等价\mathbb Q\text{-}HS \simeq \text{Rep}_\mathbb Q(\mathcal{MT}).这个 {MT}$ 称为 universal Mumford-Tate 群。
设 V 是一个 \mathbb Q 向量空间。我们定义由 V 生成的张量子范畴 $\langle V \rangle^\otimes :=\{\text{subquotient of} \ \bigoplus_j V^{\otimes a_j} \otimes (V^\vee)^{\otimes b_j} \}.$
$\langle V \rangle^\otimes \simeq \text{Rep}_\mathbb Q(MT(V)).$
\text{Rep}_\mathbb Q(G) :=\{ 有限维 \mathbb Q-线性 G-表示 \}.
设 X 是一个光滑射影簇，定义 $MT(X): = MT(\bigoplus_i H^i(X,\mathbb Q)).显然有MT(X) \subseteq \prod_i GL(H^i(X,\mathbb Q)).$
因为我们有
- H^\bullet (X^r, \mathbb Q) \simeq H^\bullet (X,\mathbb Q)^{\otimes r}.
- H^i(X,\mathbb Q)^\vee \simeq H^{2n- i}(X,\mathbb Q)(n).
所以我们有 $\text{Hdg}^k(X^r) =\left( \text{H}^{2k}(X^r, \mathbb Q)(k) \right)^{MT(X)}.$
设 A 是一个复 abel 簇，其上同调满足 $H^\bullet (A,\mathbb Q) \simeq \bigwedge^\bullet H^1(A,\mathbb Q).$
MT(A) \simeq MT(H^1(A,\mathbb Q)).
设 E 是一条椭圆曲线。那么我们有结论：设 r 是任意一个正整数，有理 Hodge 猜想对所有 E^r 都成立。
6 Appendix
设 X 是一个 compact Kähler 流形. 那么 $\text{Pic}(X) \to H^{1,1}(X,\mathbb Z)是一个满射。其中H^{1,1}(X,\mathbb{Z}):= \text{Im}\left(H^2(X,\mathbb Z), H^2 (X,\mathbb C)\right) \cap H^{1,1}(X) = \text{Hdg}^1(X,\mathbb{Z}).$
$c_1(\text{Pic}(X)) \cong \text{Hdg}^{1}(X,\mathbb Z).$
参考 [5, Prop 3.3.2].