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Dmitri O. Orlov. Derived categories of coherent sheaves on Abelian varieties and equivalences between them. 阅读笔记

作者：Lunifans

发布于 2026-07-24T07:07:44Z · 公开内容更新于 2026-08-17T13:58:02Z

Orlov 的凝聚层的导出范畴论文。

1 前言

这是本人在读 Orlov 的论文《DERIVED CATEGORIES OF COHERENT SHEAVES ON ABELIAN VARIETIES AND EQUIVALENCES BETWEEN THEM》所记录的笔记。

2 预备知识

设 $𝑋$ 是域 $𝑘$ 上的代数簇，并且它的结构层设为 $O 𝑋$ . 对于任意簇我们知道其上的凝聚层构成的范畴是 Abel 范畴，记为 $C o h (𝑋)$ .

我们用 $𝐷 𝑏 (𝑋)$ 来表示 $C o h (𝑋)$ 的有界导出范畴。

Remark 1.

以后我们直接称 $𝐷 𝑏 (𝑋)$ 为 $𝑋$ 的有界导出范畴。

Definition 2.

设 $D$ 是加性范畴。 $D$ 上的三角范畴结构为

(a) 加性自态射 $𝑇 : D \to D$ , 称为平移函子。我们记 $𝑋 [𝑛] : = 𝑇 𝑛 (𝑋), 𝑓 [𝑛] : = 𝑇 𝑛 (𝑓)$ . 三角定义为以下一组对象和态射

𝑋 𝑢 \to 𝑌 𝑣 \to 𝑍 𝑤 \to 𝑋 [1] .

不要求其为复形。三角之间的态射定义为使下图交换的 $(𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑓 [1])$

如果 $𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑓 [1]$ 都是同构，则称这两个三角同构。

(b) 一类好三角

并且要求满足以下四个条件：

(TR1) (a) $𝑋 i d ⟶ 𝑋 \to 0 \to 𝑋 [1]$ 是好三角。(b) 同构于好三角的三角是好三角。(c) 任意态射 $𝑋 𝑢 \to 𝑌$ 都可以补成一个好三角

𝑋 𝑢 \to 𝑌 𝑣 \to 𝑍 𝑤 \to 𝑋 [1] .

(TR2) 一个三角

𝑋 𝑢 \to 𝑌 𝑣 \to 𝑍 𝑤 \to 𝑋 [1]

是好三角当且仅当

𝑌 𝑣 \to 𝑍 𝑤 \to 𝑋 [1] - 𝑢 [1] \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝑌 [1]

是好三角。

(TR3) 如果我们有下图交换

那么存在态射 $ℎ : 𝑍 \to 𝑍'$ 使得下图交换（即构成三角的态射）

(TR4) 八面体图是如下两个图

并且满足条件

𝑌 \to 𝑍 \to 𝑌'

𝑌 \to 𝑍' \to 𝑌'

这两个态射相同

𝑌' \to 𝑋' \to 𝑌

𝑌' \to 𝑋 \to 𝑌

这两个态射相同。(TR4) 是如果我们有一个 upper cap 图，那么我们就可以补全整个八面体图。

Definition 3.

设 $𝐹 : D \to D'$ 是两个三角范畴之间的函子。如果

(1) $𝐹$ 和平移函子 $𝑇$ 交换。

(2) $𝐹$ 将 $D$ 中的好三角映射到 $D'$ 中的好三角。

则称 $𝐹$ 是三角范畴间的正合函子。（需要和我们之前接触的范畴间正合函子区分一下）。

我们下文提到的正合也都按照三角范畴意义下的正合。

所有导出范畴都具有三角范畴的结构。

假设所有簇都是光滑和射影的。任意光滑簇都可以诱导以下两个正合函子

𝑅 ∙ 𝑓 * : 𝐷 𝑏 (𝑋) \to 𝐷 𝑏 (𝑌) 𝐿 ∙ 𝑓 * : 𝐷 𝑏 (𝑌) \to 𝐷 𝑏 (𝑋)

并且对于任意 $F \in 𝐷 𝑏 (𝑋)$ , 我们还可以定义 tensor product 的正合函子如下

𝐿 ⨂ F : 𝐷 𝑏 (𝑋) \to 𝐷 𝑏 (𝑋)

Definition 4.

设 $𝑋, 𝑌$ 是域 $𝑘$ 上的光滑射影簇。那么我们有以下交换图

设 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌)$ , 我们定义

Φ E : 𝐷 𝑏 (𝑋) \to 𝐷 𝑏 (𝑌) H \mapsto 𝑅 ∙ 𝑞 * (E \otimes 𝐿 𝑝 * H) .

Ψ E : 𝐷 𝑏 (𝑌) \to 𝐷 𝑏 (𝑋) H \mapsto 𝑅 ∙ 𝑝 * (E \otimes 𝐿 𝑞 * H) .

Remark 5.

$Φ E$ 的左伴随是

Ψ * E ≅ Ψ E \lor \otimes 𝑞 * 𝜔 𝑌 [d i m 𝑌] .

$Φ E$ 的右伴随是

Φ! ≅ Ψ E \lor \otimes 𝑝 * 𝜔 𝑌 [d i m 𝑋] .

其中 $𝜔 𝑋, 𝜔 𝑌$ 分别是 $𝑋, 𝑌$ 的典范层， $E \lor : = 𝑅 ∙ H 𝑜 𝑚 (E, O 𝑋 \times 𝑌)$ .

证明用到了 Grothedieck 对偶，张量积和 Hom 的对偶，Serre 对偶。

Definition 6.

设 $𝑋, 𝑌, 𝑍$ 是三个光滑射影簇。设 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌), F \in 𝐷 𝑏 (𝑌 \times 𝑍), G \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑍)$ .

我们有以下图

我们定义

E ⊠ 𝑌 F : = 𝑝 * 12 E \otimes 𝑝 * 23 F \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌 \times 𝑍)

Proposition 7.

设 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌), F \in 𝐷 𝑏 (𝑌 \times 𝑍)$ , 设

G = 𝑅 ∙ 𝑝 13 * (E ⊠ 𝑌 F) .

那么我们有以下同构

Φ F \circ Φ E ≅ Φ G .

Remark 8.

注意到其实 $Φ E$ 和 $Ψ E$ 的区别并不是很大，所以上面的复合同构稍加修改就能用在 $Ψ E$ 上。

设 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌), G \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑍)$ . 那么我们有以下同构

Φ G \circ Ψ E ≅ Φ 𝑅 ∙ 𝑝 23 * (E ⊠ 𝑋 G) .

Problem 9.

(1) 两个光滑射影簇的有界导出范畴什么时候作为三角范畴是等价的？

(2) 给定光滑射影簇 $𝑋$ , $𝑋$ 的有界导出范畴的正合自等价群是什么样的？

Theorem 10.

设 $𝑋$ 是一个光滑射影簇，并且典范层是丰沛的。假设存在代数簇 $𝑋'$ 使得 $𝐷 𝑏 (𝑋')$ 和 $𝐷 𝑏 (𝑋)$ 范畴等价，那么 $𝑋'$ 和 $𝑋$ 是同构的。

Theorem 11.

设 $𝑋$ 是光滑射影簇，并且典范层是丰沛的。那么 $𝐷 𝑏 (𝑋)$ 的正合自等价群由以下生成

(1) 簇的自态射

(2) 线丛的 twists.

(3) 导出范畴的 shifts.

我们接下来描述一下 $𝐷 𝑏 (𝑋)$ 的正合自等价群。

Corollary 12.

设 $𝑋$ 是一个光滑射影簇并且典范层是丰沛的。那么 $𝐷 𝑏 (𝑋)$ 的正合自等价群

A u t e q 𝐷 𝑏 (𝑋) ≅ A u t 𝑋 ⋉ (P i c (𝑋) \oplus ℤ) .

Theorem 13.

设 $𝑋, 𝑌$ 是光滑射影簇。假设 $𝐹 : 𝐷 𝑏 (𝑋) \sim ⟶ 𝐷 𝑏 (𝑌)$ 是三角范畴间的正合等价函子。那么存在唯一（up to isomorphism）的对象 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌)$ 使得

𝐹 ≅ Φ E .

Theorem 14.

设 $𝑀, 𝑋$ 是特征为 $0$ 的代数闭域上的两个光滑射影簇。设 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑀 \times 𝑋)$ . 那么 $Φ E$ 是全忠实的当且仅当一下正交条件成立

(1) 对于任意 $𝑖$ 和 $𝑡 1 \neq 𝑡 2$ , $H o m 𝑖 𝑋 (Φ E (O 𝑡 1), Φ E (O 𝑡 2)) = 0$ .

(2) $H o m 0 𝑋 (Φ E (O 𝑡), Φ E (O 𝑡)) = 𝑘$ .

(3) 对于 $𝑖 \notin [0, d i m 𝑋]$ , $H o m 𝑖 𝑋 (Φ E (O 𝑡), Φ E (O 𝑡)) = 0$ .

其中 $𝑡, 𝑡 1, 𝑡 2 \in 𝑀$ , 其中 $O 𝑡 𝑖$ 是摩天大楼层。也就是说

O 𝑡 𝑖 (𝑈) = {O 𝑡 𝑖, 𝑡 𝑖 \in 𝑈 {0}, 𝑡 𝑖 \notin 𝑈 .

Definition 15.

设 $𝑋 1, 𝑋 2, 𝑋 3, 𝑋 4$ 是光滑射影簇。我们考虑 $E 1 \in 𝐷 𝑏 (𝑋 1 \times 𝑌 1), E 2 \in 𝐷 𝑏 (𝑋 2 \times 𝑌 2)$ .

我们定义

E 1 ⊠ E 2 : = 𝑝 * 13 E 1 \otimes 𝑝 * 24 E 2 \in 𝐷 𝑏 ((𝑋 1 \times 𝑋 2) \times (𝑌 1 \times 𝑌 2) .

考虑 $G \in 𝐷 𝑏 (𝑋 1 \times 𝑋 2)$ 并且我们记

H : = Φ E 1 ⊠ E 2 (G) \in 𝐷 𝑏 (𝑌 1 \times 𝑌 2) .

那么我们得到以下两个函子

Φ G : 𝐷 𝑏 (𝑋 1) \to 𝐷 𝑏 (𝑋 2) Φ H : 𝐷 𝑏 (𝑌 1) \to 𝐷 𝑏 (𝑌 2) .

Lemma 16.

我们有函子的同构

Φ H ≅ Φ E 2 \circ Φ G \circ Ψ E 1 .

Proof.

利用命题 7 即可。 ∎

设 $𝑍 1, 𝑍 2$ 是两个光滑射影簇。设 $F 1 \in 𝐷 𝑏 (𝑌 1 \times 𝑍 1), F 2 \in 𝐷 𝑏 (𝑌 2 \times 𝑍 2)$ . 那么根据命题 7 , 可知存在 $G 1 \in 𝐷 𝑏 (𝑋 1 \times 𝑍 1), G 2 \in 𝐷 𝑏 (𝑋 2 \times 𝑍 2)$ , 使得

Φ G 1 ≅ Φ F 1 \circ Φ E 1 Φ G 2 ≅ Φ F 2 \circ Φ E 2

Lemma 17.

我们有以下的同构

Φ F 1 ⊠ F 2 \circ Φ E 1 ⊠ E 2 ≅ Φ G 1 ⊠ G 2 .

Theorem 18.

假设 $Φ E 1$ 和 $Φ E 2$ 都是全忠实的（范畴等价），那么函子

Φ E 1 ⊠ E 2 : 𝐷 𝑏 (𝑋 1 \times 𝑋 2) \to 𝐷 𝑏 (𝑌 1 \times 𝑌 2)

也是全忠实的（范畴等价）。

Definition 19.

设 $E \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌)$ , 且 $Φ E : 𝐷 𝑏 (𝑋) \to 𝐷 𝑏 (𝑌)$ 是一个范畴等价。设 $F \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑌)$ 满足 $Ψ F ≅ Φ - 1 E$ . 那么我们定义

A d E : = Φ F ⊠ E : 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑋) \to 𝐷 𝑏 (𝑌 \times 𝑌) .

Remark 20.

根据定理 18, $A d E$ 是一个范畴等价。

根据引理 16, 对于任意 $G \in 𝐷 𝑏 (𝑋 \times 𝑋)$ , 有以下同构

Φ A d E (G) = Φ E \circ Φ G \circ Φ - 1 E .

3 Abel 簇上的导出范畴等价

参考对偶 Abel 簇：对偶 Abel 簇 - 任务优先

Definition 21.

设 $𝐴$ 是域 $𝑘$ 上的一个 Abel 簇， $(ˆ 𝐴, 𝑃)$ 是对应的对偶 Abel 簇和 Poincaré 线丛, $𝑃$ 是 $𝐴 \times ˆ 𝐴$ 上的线丛。设 $𝛼$ 是 $ˆ 𝐴$ 上的 $𝑘$ -point. 我们记

𝑃 𝛼 : = 𝑃 | 𝐴 \times {𝛼} \in 𝑃 𝑖 𝑐 0 (𝐴) .

设 $(𝛼 1, \dots, 𝛼 𝑛)$ 是 $ˆ 𝐴 1 \times \dots \times ˆ 𝐴 𝑛$ 上的一个 $𝑘$ -point, 所以我们有 $𝑃 𝛼 𝑖 \in 𝑃 𝑖 𝑐 0 (𝐴 𝑖)$ . 我们定义

𝑃 (𝛼 1, \dots, 𝛼 𝑛) : = 𝑃 𝛼 1 ⊠ 𝑃 𝛼 2 ⊠ \dots ⊠ 𝑃 𝛼 𝑛

这是 $𝐴 1 \times \dots \times 𝐴 𝑛$ 上的线丛。

Definition 22.

设 $𝑓 : 𝐴 \to 𝐵$ 是 Abel 簇间的同态。我们可以如下定义对偶同态

ˆ 𝑓 : ˆ 𝐵 \to ˆ 𝐴 ˆ 𝛽 \mapsto ˆ 𝛼

需要满足 $𝑓 * 𝑃 𝛽 = 𝑃 𝛼$ .

考虑 $𝑓 : 𝐴 \to ˆ 𝐴$ ,那么 $ˆ 𝑓 : ˆ ˆ 𝐴 \to ˆ 𝐴$ . 因为我们有 $𝜅 : I d \sim ⟶ ˆ ˆ$ , 所以我们得到对偶同态

ˆ 𝑓 : 𝐴 \to ˆ 𝐴

设 $𝑓$ 对应矩阵 $𝐹$ , $ˆ 𝑓$ 对应矩阵为 $ˆ 𝐹$ . 那么有

ˆ 𝐹 = - 𝐹 𝑡 .

设有下图

设 $𝑃$ 是 $𝐴 \times ˆ 𝐴$ 上的 Poincaré 线丛。那么根据 4, 可知

Φ 𝑃 (\cdot) = 𝑅 ∙ 𝑞 * (𝑃 \otimes 𝑝 * (\cdot))

Ψ 𝑃 (\cdot) = 𝑅 ∙ 𝑝 * (𝑃 \otimes 𝑞 * (\cdot))

Proposition 23.

设 $𝑃$ 是 $𝐴 \times ˆ 𝐴$ 上的 Poincaré 丛，那么 $Φ 𝑃 : 𝐷 𝑏 (𝐴) \to 𝐷 𝑏 (ˆ 𝐴)$ 是正合范畴等价，并且存在函子间的同构

Ψ 𝑃 \circ Φ 𝑃 ≅ (- 1 𝐴) * [𝑛]

其中 $(- 1 𝐴)$ 是 Abel 簇 $𝐴$ 上的群逆映射。

Definition 24.

设 $(𝑎, 𝛼)$ 是 $𝐴 \times ˆ 𝐴$ 上的 $𝑘$ -point, 那么我们定义

Φ (𝑎, 𝛼) : 𝐷 𝑏 (𝐴) \to 𝐷 𝑏 (𝐴) H \mapsto 𝑇 𝑎 * (H) \otimes 𝑃 𝛼 = 𝑇 * - 𝑎 (H) \otimes 𝑃 𝛼

Lemma 25.

设 $Φ (𝑎, 𝛼)$ 如上定义，那么我们有

Φ 𝑆 (𝑎, 𝛼) ≅ Φ (𝑎, 𝛼)

其中 $𝑆 (𝑎, 𝛼) = O Γ 𝑎 \otimes 𝑝 * 2 (𝑃 𝛼)$ 是 $𝐴 \times ˆ 𝐴$ 上的层， $Γ 𝑎$ 是 $𝑇 𝑎$ 的图，即 $Γ 𝑎 : = {(𝑡, 𝑎 + 𝑡) : 𝑡 \in 𝐴}$ .

$Φ 𝑆 (𝑎, 𝛼) : 𝐷 𝑏 (𝐴) \to 𝐷 𝑏 (𝐴)$ 是自等价。

Definition 26.

设我们有下图

我们记 $Δ = {(𝑎, 𝑎) : 𝑎 \in 𝐴}$ .

设 $P 𝐴 = 𝑝 * 14 O Δ \otimes 𝑝 * 23 𝑃 \in 𝐷 𝑏 ((𝐴 \times ˆ 𝐴) \times (𝐴 \times 𝐴))$ .

我们定义 $𝜇 𝐴 : 𝐴 \times 𝐴 \to 𝐴 \times 𝐴, (𝑎 1, 𝑎 2) \mapsto (𝑎 1, 𝑚 (𝑎 1, 𝑎 2))$ .

我们定义

Φ 𝑆 𝐴 = 𝑅 ∙ 𝜇 𝐴 * \circ Φ P 𝐴

Remark 27.

$Φ P 𝐴 = Φ O Δ ⊠ 𝑃 : 𝐷 𝑏 (𝐴 \times ˆ 𝐴) \to 𝐷 𝑏 (𝐴 \times 𝐴)$ 根据 18 是范畴等价。

Lemma 28.

$𝑆 𝐴 = (𝑚 \circ 𝑝 13, 𝑝 4) * O Δ \otimes 𝑝 * 23 𝑃 𝐴$ , 其中 $(𝑚 \circ 𝑝 13, 𝑝 4) (𝑎 1, 𝛼, 𝑎 3, 𝑎 4) = (𝑚 (𝑎 1, 𝑎 3), 𝑎 4)$ .

Remark 29.

这个具体的 $𝑆 𝐴$ 后面没有用到。

Theorem 30.

$Φ 𝑆 𝐴$ 是范畴等价，并且对于任意 $𝑘$ -point $(𝑎, 𝛼) \in 𝐴 \times ˆ 𝐴$ ,

(a) $Φ 𝑆 𝐴$ 将 the structure sheaf $O (𝑎, 𝛼)$ of the point 映射到了 $𝑆 (𝑎, 𝛼)$ .

(b) $Φ 𝑆 𝐴$ 将 $𝐴 \times ˆ 𝐴$ 上的线丛 $𝑃 (𝛼, 𝑎)$ 映射到 $O {- 𝑎} \times 𝐴 \otimes 𝑝 * 2 𝑃 𝛼 [𝑛]$ .

Lemma 31.

设 $𝑋$ 是一个光滑簇， $ℱ$ 是 $𝑋$ 上的凝聚层。假设我们有闭子簇 $𝑗 : 𝑍 ↪ ―― 𝑋$ 和 $𝑍$ 上的可逆层 $L$ 使得

―― 𝐹 ≅ 𝑗 * ℒ .

那么我们可以找到一个闭子簇 $𝑖 : 𝑌 ↪ 𝑋$ 和 $𝑌$ 上的可逆层 $M$ 使得

ℱ ≅ 𝑖 * M

和 $𝑗 = ―― 𝑖$ .

4 半齐次向量丛

Definition 32 (齐次向量丛).

设 $𝐷$ 是一个 abel 簇， $𝐸$ 是 $𝐷$ 上的一个向量丛。我们称 $𝐸$ 为 homogeneous (齐次) 如果对于任意点 $𝑑 \in 𝐷$ , $𝑇 * 𝑑 (𝐸) ≅ 𝐸$ .

Definition 33.

设 $𝐷$ 是一个 abel 簇， $𝐹$ 是 $𝐷$ 上的一个向量丛。我们称 $𝐹$ 为 unipotent, 如果存在一个 filtration

0 = 𝐹 0 \subset 𝐹 1 \subset \dots \subset 𝐹 𝑛 = 𝐹

使得对于 $𝑖 = 1, \dots, 𝑛$ 有 $𝐹 𝑖 / 𝐹 𝑖 - 1 ≅ O 𝐷$ .

Proposition 34.

设 $𝐸$ 是 abel 簇 $𝐷$ 上的向量丛。那么以下条件等价

1.

向量丛 $𝐸$ 是齐次的。
2.

存在线丛 $𝑃 𝑖 \in P i c 0 (𝐷)$ 和 unipotent 丛 $𝐹 𝑖$ 使得 $𝐸 ≅ ⨁ 𝑖 (𝐹 𝑖 \otimes 𝑃 𝑖)$ .

Definition 35 (半齐次向量丛).

设 $𝐷$ 是一个 abel 簇， $𝐸$ 是 $𝐷$ 上的一个向量丛。我们称 $𝐸$ 是 semihomogeneous (半齐次) 如果对于任意 $𝑑 \in 𝐷$ , 存在一个 $𝐷$ 上的一个线丛 $𝐿$ 使得 $𝑇 * 𝑑 (𝐸) ≅ 𝐸 \otimes 𝐿$ .

Proposition 36.

设 $𝐸$ 是 abel 簇 $𝐷$ 上的简单向量丛[1]。那么以下条件等价

1.

对任意 $𝑗 = 0, \dots, 𝑛$ , $d i m 𝐻 𝑗 (𝐷, E 𝑛 𝑑 (𝐸)) = (𝑛 𝑗)$ .
2.

$𝐸$ 是一个半齐次向量丛
3.

$E 𝑛 𝑑 (𝐸)$ 是一个齐次向量丛
4.

存在 isogeny $𝜋 : 𝑌 \to 𝐷$ 和 $𝑌$ 上线丛 $𝐿$ 使得 $𝐸 ≅ 𝜋 * (𝐿)$ .

设 $𝐸$ 是一个 abel 簇 $𝐷$ 上的向量丛。我们记

𝜇 (𝐸) : = [d e t (𝐸)] 𝑟 (𝐸) \in N S (𝐷) \otimes ℤ ℚ,

其中 $d e t (𝐸) = ⋀ 𝑟 𝐸$ 是一个秩 $1$ 的局部自由层。

任意 $𝜇 = [𝐿] 𝑙 \in N S (𝐷) \otimes ℤ ℚ$ 都决定了一个对应 $Φ 𝜇 \subset 𝐷 \times ̂ 𝐷$

Φ 𝜇 = I m [𝐷 (𝑙, 𝜑 𝐿) \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐷 \times ̂ 𝐷] .

记 $Φ 𝜇$ 到 $𝐷$ 和 $̂ 𝐷$ 的投影为 $𝑞 1$ 和 $𝑞 2$ . 特别的，当 $𝐸$ 是一个线丛 $𝐿$ , 那么我们就得到了 $𝜑 𝐿 : 𝐷 \to ̂ 𝐷$ 的图。

Proposition 37.

设 $𝜇 = [𝐿] 𝑙$ , 其中 $[𝐿]$ 是 $N S (𝐷)$ 里线丛的等价类并且 $𝑙$ 是一个正整数。那么

1.

存在一个具有斜率 $𝜇 (𝐸) = 𝜇$ 的简单半齐次向量丛 $𝐸$ .
2.

任意具有斜率 $𝜇 (𝐸') = 𝜇$ 的简单半齐次向量丛 $𝐸'$ 都同构于某个 $𝐸 \otimes 𝑀$ , 其中线丛 $𝑀 \in P i c 0 (𝐷)$ .
3.

我们有方程 $𝑟 (𝐸) 2 = d e g (𝑞 1)$ 和 $𝜒 (𝐸) 2 = d e g (𝑞 2)$ .

Proposition 38.

任意斜率为 $𝜇$ 的半齐次向量丛 $𝐹$ admits a filtration

0 = 𝐹 0 \subset 𝐹 1 \subset \dots \subset 𝐹 𝑛 = 𝐹

使得 $𝐸 𝑖 = 𝐹 𝑖 / 𝐹 𝑖 - 1$ 是具有相同斜率 $𝜇$ 的简单半齐次向量丛。任意简单半齐次向量丛是 stable 的。

Lemma 39.

设 $𝐸 1, 𝐸 2$ 是两个具有相同斜率 $𝜇$ 的简单 semihomogeneous 丛, 那么 $𝐸 1, 𝐸 2$ 要么同构，要么 orthogonal, 也就是说

𝐸 1 = 𝐸 2,

or 对于所有 $𝑖$ ,

E x t 𝑖 (𝐸 1, 𝐸 2) = 0, E x t 𝑖 (𝐸 2, 𝐸 1) = 0 .

Lemma 40.

设 $𝐸$ 是一个 Abel 簇上的简单半齐次向量丛。我们有

𝑇 * 𝑑 (𝐸) ≅ 𝐸 \otimes 𝑃 𝛿 ⟺ (𝑑, 𝛿) \in Φ 𝜇 .

Proof.

∎

设 $𝑓 : 𝐴 \times ̂ 𝐴 \to 𝐵 \times ̂ 𝐵$ 是一个 isometric isomorphism 并且 $Γ$ 是其 graph. 我们将 $𝑓$ 写成矩阵：

𝑓 = (𝑥 𝑦 𝑧 𝑤) .

假设 $𝑦 : ̂ 𝐴 \to 𝐵$ 是一个 isogeny. 那么 $𝑓$ 决定了一个元素 $𝑔 \in H o m (𝐴 \times 𝐵, ̂ 𝐴 \times ̂ 𝐵) \otimes ℤ ℚ$ :

𝑔 = (𝑦 - 1 𝑥 - 𝑦 - 1 - ̂ 𝑦 - 1 𝑤 𝑦 - 1) .

那么 $𝑔$ 决定了一个 correspondence on $(𝐴 \times 𝐵) \times (̂ 𝐴 \times ̂ 𝐵)$ .

References

[1] Rinspace (2026) vector bundle. Note: https://rinspace.com/tags/6786/vector-bundleRinspace tag wiki, accessed 2026-07-27 External Links: Link Cited by: Proposition 36.