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Extensions and biextensions of locally constant group schemes, tori and abelian schemes 阅读笔记

作者：

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Cristiana Bertolin. Extensions and biextensions of locally constant group schemes, tori and abelian schemes. Mathematische Zeitschrift, 261(4):845–868, 2009.

1 Introduction

Definition 1.

设 𝑘 是一个代数闭域， 𝑀 是一个 abel 群。那么与 𝑀 对应的常群概形(constant group scheme) 是

𝑀―――𝑘=∐𝑚∈𝑀Spec 𝑘.
Example 2.

如果 𝑀=ℤ, 那么

ℤ――𝑘=∐𝑛∈ℤSpec 𝑘

. 也就是无穷多个零维孤立点。

Definition 3.

取 𝑆 的一个几何点

――𝑠:Spec Ω→𝑆

其中 Ω 是代数闭域。 设 𝐻 是一个 𝑆-概形 𝐻→𝑆. 那么 𝐻 的几何纤维为

𝐻――𝑠=𝐻×𝑆Spec Ω.
Lemma 4.

设 𝐺,𝐻 是交换 𝑆-群概形，一个交换扩张是一个正合列

0→𝐺𝑖→𝐸𝑝→𝐻→0

其中 𝐸 是 𝑆𝑓𝑝𝑝𝑓 上的交换群层。那么 𝐸 实际上可以由一个 𝑆-代数空间表示。

Lemma 5.

设 𝑋 是一个 separated, unramified 的交换 𝑆-群概形，并且设 𝑃 是一个 locally of finite presentation 的 𝑆-群概形，并且有着连通的纤维。那么

Hom(𝑃,𝑋)=0.
Proof.

设 𝑓:𝑃→𝑋 是一个 𝑆-同态，并且考虑 𝑆-态射 (𝑓,𝜖∘𝑝)𝑆:𝑃→𝑋×𝑆𝑋, 其中 𝜖:𝑆→𝑋,∗↦0 是 𝑋 的单位截面并且 𝑝:𝑃→𝑆 是 𝑃 的结构态射。

设 𝑍=(𝑓,𝜖𝑋∘𝑝)−1𝑆(Δ𝑋/𝑆), 根据 𝑋→𝑆 是 separated 和 unramified, 所以 Δ𝑋/𝑆 是既开又闭的，所以 𝑍 也是既开又闭的。

取任意点 𝑠∈𝑆, 考虑纤维上的群同态

𝑓𝑠:𝑃𝑠→𝑋𝑠

因为 𝑓𝑠 是群同态，所以 𝑓𝑠(𝑒𝑃𝑠)=𝑒𝑋𝑠, 故 𝑒𝑃𝑠∈𝑍𝑠，进而 𝑍𝑠≠∅. 所以 𝑍 非空，那么 𝑍=𝑃. ∎

Definition 6.

我们称 𝑞:𝑃→𝑆 是一个 𝑋-torsor，如果 𝑋 作用在 𝑃 上，并且 fppf 局部存在同构 𝑃≃𝑋. 更准确地，存在一个 fppf 覆盖 𝑆′→𝑆 使得 𝑃𝑆′≃𝑋𝑆′.

Lemma 7.

设 𝑋 是一个 𝑆-群概形并且 locally for the étale topology a constant group scheme defined by a finitely generated free ℤ-模。任意 𝑋-torsor 是一个概形。特别的，任意 𝑆-群概形 by 𝑋 的 extension 是一个概形。

Proposition 8.

设 𝑋 是一个交换 𝑆-群概形 separated, unramified over 𝑆 并且几何纤维是由有限生成自由 ℤ-模定义的 constant group scheme, 设 𝑃 是一个光滑交换 𝑆-群概形带有连通纤维。那么范畴 Ext(𝑃,𝑋) of extensions of 𝑃 by 𝑋 是一个平凡范畴。更精确，

Hom(𝑃,𝑋)=0 并且 Ext1(𝑃,𝑋)=0.

特别的， 𝑆-层 𝐻𝑜𝑚――――(𝑃,𝑋) 和 𝐸𝑥𝑡―――1(𝑃,𝑋) 是平凡的。

Proof.

∎

Lemma 9.

设 𝑋 是一个 𝑆-群概形并且是 locally for the étale topology a constant group scheme defined by a finitely generated free ℤ-module 并且设 𝑃 是任意交换 𝑆-群概形。那么 𝑆-层 𝐸𝑥𝑡―――1(𝑋,𝑃) 是平凡的。

Lemma 10.

设 𝐴 是一个 abelian 𝑆-概形，𝑇 是一个 𝑆-环面。那么 Hom(𝑇,𝐴)=0. 特别的，𝑆-层 𝐻𝑜𝑚――――(𝑇,𝐴) 是平凡的。

Definition 11 (torsor).

设 𝐺→𝑆 是一个 𝑆-群概形。一个 𝐺-torsor 𝑃→𝑆 包含一个作用

𝑎:𝐺×𝑆𝑃→𝑃,

满足以下两个条件：

  1. 1.

    𝐺×𝑆𝑃→𝑃×𝑆𝑃,(𝑔,𝑝)↦(𝑔⋅𝑝,𝑝) 是同构.

  2. 2.

    𝑃→𝑆 在所采用的拓扑中局部有截面。通常采用 fppf 拓扑。

Lemma 12.

Any torsor under an 𝑆-torus is a scheme. In particular, any extension of an 𝑆-group scheme by an 𝑆-torus is a scheme.

Proposition 13.

设 𝑘 是一个代数闭域。An extension 𝐸 of a 𝑘-torus 𝑇 by an abelian 𝑘-variety 是一个光滑连通 𝑘-代数群。进一步，我们考虑 𝐸 的 Chevalley’s decomposition 为一个 abelian 𝑘-variety 𝐴′ 和一个 𝑘-torus 𝑇′, 我们有

  1. 1.

    环面 𝑇′ 是 𝐸 的极大环面并且同源于环面 𝑇

  2. 2.

    dim⁡𝑇′=dim⁡𝑇 并且 dim⁡𝐴′=𝑑𝑖𝑚𝐴.

进一步， 𝐸 是 of finite order 的。

𝑔⋅𝑝

Proposition 14.

设 𝐴 和 𝐵 是两个 abelian 𝑆-概形。那么 𝑆-层 𝐻𝑜𝑚――――(𝐴,𝐵) 是一个 𝑆-群概形，其几何纤维都是有有限生成自由 ℤ 模定义的常值，并且它是 separated, unramified and essentially proper over 𝑆.

References